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3.3. Geometría y Topología (GTO)
Esta área cubre el estudio de la forma, el espacio y la continuidad, desde la geometría euclidiana clásica hasta la teoría moderna de variedades, la topología algebraica y la geometría simpléctica, con profundas conexiones con la física y la ciencia de datos.
| Área de Conocimiento (KA) | Core Tier1 | Core Tier2 |
 3.3.1 Geometría Euclidiana y Proyectiva | 1 | 1 |
|
3.3.2 Geometría Diferencial de Curvas y Superficies | 1 | 1 |
3.3.1. GTO/Geometría Euclidiana y Proyectiva (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba
Geometría euclidiana axiomática, isometrías, grupos de simetría y el plano proyectivo.
Temas:
Core
- Geometría euclidiana: axiomas, congruencia, semejanza y teoremas clásicos
- Isometrías del plano y el espacio: reflexiones, rotaciones, traslaciones y reflexiones con deslizamiento
- Grupos de simetría: grupos de friso, grupos de papel tapiz y clasificación de grupos finitos de isometrías
- Plano proyectivo: coordenadas homogéneas, dualidad y razón cruzada
- Secciones cónicas en geometría proyectiva: clasificación y transformaciones proyectivas
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Describir la base axiomática de la geometría euclidiana e identificar el papel del postulado de las paralelas [Familiarizarse]
- Clasificar isometrías del plano y determinar el grupo de simetría de una figura geométrica dada [Usar]
- Aplicar coordenadas proyectivas y dualidad para demostrar teoremas clásicos (Pappus, Desargues) [Evaluar]
3.3.2. GTO/Geometría Diferencial de Curvas y Superficies (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba
Teoría local y global de curvas y superficies en \(\mathbb{R}^3\): curvatura, aplicación de Gauss y teorema de Gauss-Bonnet.
Temas:
Core
- Curvas en el espacio: curvatura, torsión, triedro de Frenet-Serret y el teorema fundamental de curvas
- Superficies regulares en \(\mathbb{R}^3\): parametrizaciones, planos tangentes y primera forma fundamental
- Segunda forma fundamental, curvaturas principales, curvatura gaussiana y media, y la aplicación de Gauss
- Geodésicas en superficies y el teorema de Gauss-Bonnet
- Teorema Egregium de Gauss: naturaleza intrínseca de la curvatura gaussiana
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Calcular la curvatura y torsión de una curva en el espacio a partir de sus ecuaciones paramétricas [Familiarizarse]
- Calcular la curvatura gaussiana y media de superficies paramétricas usando la primera y segunda formas fundamentales [Usar]
- Aplicar el teorema de Gauss-Bonnet para relacionar la curvatura de una superficie con su característica de Euler topológica [Evaluar]