3.2. álgebra y Teoría de Números (ANT)

Esta área cubre las estructuras algebraicas subyacentes a las matemáticas modernas y sus aplicaciones, desde los fundamentos del álgebra lineal y la teoría de grupos hasta la aritmética de los cuerpos de números, la codificación algebraica y la criptografía.

3.2.1. ANT/álgebra Lineal

Espacios vectoriales, aplicaciones lineales, matrices, determinantes, valores propios y espacios con producto interno, con aplicaciones a sistemas de ecuaciones y diagonalización.
Temas:
Core

• Espacios vectoriales y subespacios; bases, dimensión e independencia lineal
• Aplicaciones lineales, núcleo e imagen, teorema de rango-nulidad y representaciones matriciales
• Determinantes: definición, propiedades, regla de Cramer e interpretación geométrica
• Valores propios y vectores propios; diagonalización y el teorema espectral
• Espacios con producto interno, ortogonalidad, proceso de Gram-Schmidt y mínimos cuadrados
• Descomposiciones matriciales: LU, QR y descomposición en valores singulares (SVD)

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Identificar si un conjunto con operaciones dadas forma un espacio vectorial y determinar una base [Familiarizarse]

2.

Calcular valores propios, vectores propios y descomposiciones matriciales para diagonalizar o factorizar matrices [Usar]

3.

Aplicar la SVD y los métodos de mínimos cuadrados para resolver sistemas lineales sobredeterminados y problemas de aproximación de datos [Evaluar]

3.2.2. ANT/Teoría de Grupos

Grupos, subgrupos, homomorfismos, grupos cocientes y la clasificación de grupos finitos.
Temas:
Core

• Grupos, subgrupos, grupos cíclicos y orden de los elementos
• Clases laterales, teorema de Lagrange y subgrupos normales
• Homomorfismos de grupos, isomorfismos y los teoremas de isomorfía
• Acciones de grupo, órbitas, estabilizadores y lema de Burnside

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Enunciar el teorema de Lagrange y explicar la relación entre subgrupos y clases laterales [Familiarizarse]

2.

Aplicar los teoremas de isomorfía para analizar imágenes homomórficas y grupos cocientes [Usar]

3.

Analizar grupos de simetría que surgen en contextos de computación, como grupos de permutaciones sobre estructuras de datos [Evaluar]

3.2.3. ANT/Anillos, Cuerpos y Teoría de Galois

Anillos, ideales, anillos de polinomios, extensiones de cuerpos y la correspondencia de Galois entre extensiones de cuerpos y grupos de permutaciones.
Temas:
Core

• Anillos, ideales, anillos cociente y los teoremas de isomorfía para anillos
• Anillos de polinomios: irreducibilidad, factorización y dominios de factorización única
• Extensiones de cuerpos: elementos algebraicos y trascendentes, grado y cuerpos de descomposición
• Cuerpos finitos: estructura, existencia y aplicaciones en teoría de codificación

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Clasificar anillos como dominios enteros, DIPs o DFUs y justificar la clasificación [Familiarizarse]

2.

Construir y analizar cuerpos finitos utilizados en AES y otros algoritmos criptográficos [Usar]

3.

Aplicar la teoría de extensiones de cuerpos para analizar códigos correctores de errores sobre cuerpos finitos [Evaluar]

3.2.4. ANT/Criptografía y Teoría de la Codificación

Fundamentos matemáticos de la criptografía moderna y los códigos correctores de errores, incluyendo RSA, curvas elípticas y códigos lineales.
Temas:
Core

• Aritmética modular, criptosistema RSA y problema del logaritmo discreto
• Curvas elípticas sobre cuerpos finitos y criptografía de curvas elípticas (ECC)
• Códigos lineales: matrices generadora y de verificación de paridad, distancia de Hamming y corrección de errores
• Códigos cíclicos: representación polinomial, códigos BCH y códigos Reed-Solomon

Non Core

• Criptografía postcuántica: esquemas basados en retículos y el problema Learning With Errors (LWE)

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Explicar las hipótesis de dureza matemática subyacentes a RSA y la criptografía de curvas elípticas [Familiarizarse]

2.

Construir un código lineal, calcular sus parámetros y determinar su capacidad de corrección de errores [Usar]

NonCore:

3.

Analizar los supuestos de seguridad de los esquemas criptográficos basados en retículos en el contexto postcuántico [Evaluar]