2.8. Fundamentos Matemáticos y Estadísticos (MSF)

Los fundamentos matemáticos y estadísticos de la informática proporcionan las bases teóricas para la disciplina. Incluyen matemáticas discretas, probabilidad, estadística, álgebra lineal y cálculo. Estas áreas son esenciales para comprender algoritmos, estructuras de datos, aprendizaje automático, gráficos, criptografía y muchos otros temas en informática.

2.8.1. MSF/Matemáticas Discretas

Temas:
Core

• Conjuntos: operaciones, cardinalidad, conjuntos potencia, productos cartesianos
• Relaciones: propiedades, relaciones de equivalencia, órdenes parciales
• Funciones: inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, composición, inversa
• Lógica: lógica proposicional y de predicados, cuantificadores, demostraciones
• Grafos: definiciones, caminos, ciclos, árboles, conectividad
• Conteo: permutaciones, combinaciones, teorema del binomio
• Relaciones de recurrencia: resolver recurrencias simples

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Definir operaciones y relaciones básicas de conjuntos [Explicar]

2.

Aplicar operaciones de conjuntos para resolver problemas [Aplicar]

3.

Definir propiedades de las relaciones [Explicar]

4.

Determinar si una relación es una relación de equivalencia [Aplicar]

5.

Definir tipos de funciones [Explicar]

6.

Componer funciones y encontrar inversas [Aplicar]

7.

Explicar lógica proposicional y de predicados [Explicar]

8.

Construir demostraciones lógicas simples [Aplicar]

9.

Definir conceptos básicos de grafos [Explicar]

10.

Resolver problemas básicos de grafos [Aplicar]

11.

Explicar permutaciones y combinaciones [Explicar]

12.

Aplicar técnicas de conteo para resolver problemas [Aplicar]

13.

Definir relaciones de recurrencia [Explicar]

14.

Resolver relaciones de recurrencia simples [Aplicar]

2.8.2. MSF/Matemáticas Discretas Avanzadas

Temas:
Core

• Teoría avanzada de conjuntos: conjuntos infinitos, argumento diagonal de Cantor
• Relaciones avanzadas: clausuras, retículos
• Funciones avanzadas: funciones recursivas, computabilidad
• Lógica avanzada: sistemas de demostración, completitud, decidibilidad
• Teoría avanzada de grafos: planaridad, coloración, redes
• Conteo avanzado: funciones generadoras, principio de inclusión-exclusión
• Recurrencia avanzada: funciones generadoras, comportamiento asintótico

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Explicar conceptos de conjuntos infinitos y cardinalidad [Explicar]

2.

Aplicar operaciones de clausura a relaciones [Aplicar]

3.

Analizar propiedades avanzadas de grafos [Evaluar]

4.

Desarrollar funciones generadoras para problemas de conteo [Crear]

2.8.3. MSF/Probabilidad

Temas:
Core

• Probabilidad básica: espacios muestrales, eventos, axiomas
• Probabilidad condicional, independencia, teorema de Bayes
• Variables aleatorias: discretas y continuas, distribuciones
• Esperanza, varianza, desviación estándar
• Distribuciones comunes: uniforme, binomial, normal
• Distribuciones conjuntas, covarianza, correlación
• Teoremas límite: ley de los grandes números, teorema del límite central
• Procesos estocásticos: cadenas de Markov
• Teoría de la información: entropía, información mutua

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Definir conceptos básicos de probabilidad [Explicar]

2.

Calcular probabilidades de eventos [Aplicar]

3.

Definir probabilidad condicional e independencia [Explicar]

4.

Aplicar el teorema de Bayes para actualizar probabilidades [Aplicar]

5.

Definir variables aleatorias y distribuciones [Explicar]

6.

Calcular esperanza y varianza [Aplicar]

7.

Describir distribuciones de probabilidad comunes [Explicar]

8.

Aplicar distribuciones comunes para modelar fenómenos del mundo real [Aplicar]

9.

Explicar distribuciones conjuntas y dependencia [Explicar]

10.

Calcular covarianza y correlación [Aplicar]

11.

Analizar las implicaciones de los teoremas límite [Evaluar]

12.

Modelar sistemas simples usando cadenas de Markov [Crear]

2.8.4. MSF/Estadística

Temas:
Core

• Estadística descriptiva: medidas de centro y dispersión
• Visualización de datos: histogramas, diagramas de caja, diagramas de dispersión
• Distribuciones muestrales: variabilidad muestral, teorema del límite central
• Estimación: estimaciones puntuales, intervalos de confianza
• Prueba de hipótesis: hipótesis nula y alternativa, valores p
• Regresión: regresión lineal simple y múltiple
• Análisis de varianza (ANOVA)
• Métodos no paramétricos
• Diseño experimental: aleatorización, control, enmascaramiento

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Definir medidas de estadística descriptiva [Explicar]

2.

Calcular estadísticas descriptivas para un conjunto de datos [Aplicar]

3.

Explicar técnicas comunes de visualización de datos [Explicar]

4.

Crear visualizaciones apropiadas para datos dados [Aplicar]

5.

Definir distribuciones muestrales y variabilidad [Explicar]

6.

Aplicar el teorema del límite central para aproximar distribuciones [Aplicar]

7.

Definir estimaciones puntuales e intervalos de confianza [Explicar]

8.

Calcular intervalos de confianza para medias y proporciones [Aplicar]

9.

Definir conceptos de prueba de hipótesis [Explicar]

10.

Realizar una prueba de hipótesis simple e interpretar valores p [Aplicar]

11.

Explicar regresión lineal simple y múltiple [Explicar]

12.

Ajustar un modelo de regresión e interpretar coeficientes [Aplicar]

13.

Analizar varianza usando ANOVA [Evaluar]

14.

Diseñar un experimento simple con controles apropiados [Crear]

2.8.5. MSF/álgebra Lineal

Temas:
Core

• Vectores: operaciones, producto punto, producto cruz
• Matrices: operaciones, inversas, determinantes
• Sistemas de ecuaciones lineales: eliminación gaussiana, forma matricial
• Espacios vectoriales: subespacios, base, dimensión
• Transformaciones lineales: representación matricial, núcleo, imagen
• Valores propios y vectores propios: diagonalización
• Ortogonalidad: bases ortonormales, Gram-Schmidt
• Descomposición en valores singulares (SVD)
• Aplicaciones: mínimos cuadrados, gráficos por computadora, aprendizaje automático

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Definir operaciones y propiedades de vectores [Explicar]

2.

Calcular operaciones y productos vectoriales [Aplicar]

3.

Definir operaciones y propiedades matriciales [Explicar]

4.

Calcular operaciones matriciales, inversas y determinantes [Aplicar]

5.

Explicar sistemas de ecuaciones lineales y métodos de solución [Explicar]

6.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales usando eliminación [Aplicar]

7.

Definir espacios vectoriales, subespacios, base y dimensión [Explicar]

8.

Determinar si un conjunto de vectores forma una base [Aplicar]

9.

Definir transformaciones lineales y sus representaciones [Explicar]

10.

Encontrar el núcleo y la imagen de una transformación lineal [Aplicar]

11.

Explicar valores propios y vectores propios [Explicar]

12.

Diagonalizar una matriz cuando sea posible [Aplicar]

13.

Analizar ortogonalidad y bases ortonormales [Evaluar]

14.

Aplicar descomposición en valores singulares a una matriz [Crear]

2.8.6. MSF/Cálculo

Temas:
Core

• Límites y continuidad
• Derivadas: definición, reglas, aplicaciones
• Integrales: definidas e indefinidas, teorema fundamental
• Series: convergencia, series de Taylor
• Cálculo multivariable: derivadas parciales, gradientes
• Optimización: extremos locales y globales, multiplicadores de Lagrange
• Ecuaciones diferenciales: técnicas básicas de solución
• Métodos numéricos: integración, diferenciación

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Definir límites y continuidad [Explicar]

2.

Calcular límites de funciones [Aplicar]

3.

Definir derivadas y reglas de diferenciación [Explicar]

4.

Calcular derivadas de funciones [Aplicar]

5.

Definir integrales y el teorema fundamental del cálculo [Explicar]

6.

Calcular integrales definidas e indefinidas [Aplicar]

7.

Definir series y convergencia [Explicar]

8.

Calcular expansiones en series de Taylor [Aplicar]

9.

Explicar derivadas parciales y gradientes [Explicar]

10.

Calcular derivadas parciales y gradientes [Aplicar]

11.

Analizar problemas de optimización usando cálculo [Evaluar]

12.

Resolver ecuaciones diferenciales simples [Crear]