5.24. MA202. Métodos Numéricos (Obligatorio)
- Semestre: 4to Sem. Créditos: 3
- Horas del curso: Teoría: 2 horas; Práctica: 2 horas;
-
Prerrequisitos:
- BMA103. Cálculo Integral (2do Sem)
5.24.1. Justificación
Los métodos numéricos son una herramienta fundamental compartida por la ciencia de la computación y las disciplinas de ingeniería para aproximar soluciones a problemas matemáticos que no pueden resolverse analíticamente. Este curso proporciona una introducción a los métodos numéricos más comunes, incluyendo análisis de error, resolución de ecuaciones no lineales, interpolación, integración numérica y solución de ecuaciones diferenciales, en contextos científicos y de ingeniería.
5.24.2. Objetivos Generales
- 1.
- Comprender la importancia de los métodos numéricos en la resolución de problemas científicos y de ingeniería.
- 2.
- Aplicar diferentes métodos numéricos para aproximar soluciones a problemas matemáticos.
- 3.
- Analizar la precisión y eficiencia de los métodos numéricos utilizados.
5.24.3. Contribución a los resultados (Outcomes)
-
AG-C08) Análisis de Problemas: Identifica, formula y analiza problemas complejos de computación. (Usage)
-
AG-C11) Uso de Herramientas: Aplica herramientas modernas de computación en la resolución de problemas. (Usage)
5.24.4. Contenido
5.24.4.1. Análisis de Error y Aritmética de Punto Flotante (6 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C11]
Referencias Bibliográficas: [Chapra and Canale, 2015, Burden and Faires, 2010]
Temas
- 1.
- Representación de punto flotante IEEE 754: épsilon de la máquina, desbordamiento, subdesbordamiento y modos de redondeo
- 2.
- Errores de redondeo, cancelación catastrófica y pérdida de significancia
- 3.
- Análisis de error hacia adelante y hacia atrás; número de condición de un problema
- 4.
- Estabilidad numérica: algoritmos estables vs. inestables; análisis de error hacia atrás de Wilkinson
- 5.
- Propagación del error en operaciones aritméticas y evaluación de funciones
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)
- 1.
- Explicar el estándar de punto flotante IEEE 754 e identificar las fuentes de errores de redondeo y cancelación [Familiarizarse]
- 2.
- Estimar el número de condición de un problema y predecir la precisión de un resultado numérico [Usar]
- 3.
- Analizar un algoritmo en cuanto a su estabilidad numérica utilizando cotas de error hacia adelante y hacia atrás [Evaluar]
5.24.4.2. Búsqueda de Raíces de Ecuaciones No Lineales (10 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C11]
Referencias Bibliográficas: [Chapra and Canale, 2015, Burden and Faires, 2010]
Temas
- 1.
- Método de bisección: acotamiento del intervalo, criterio de parada y cota del error
- 2.
- Iteración de punto fijo y condiciones suficientes de convergencia
- 3.
- Método de Newton-Raphson: derivación, convergencia cuadrática y casos de falla
- 4.
- Método de la secante como alternativa al método de Newton sin derivada explícita
- 5.
- Orden de convergencia y comparación de la eficiencia entre métodos iterativos
- 6.
- Extensión del método de Newton a sistemas de ecuaciones no lineales mediante la matriz Jacobiana
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)
- 1.
- Comparar las hipótesis y garantías de convergencia de los métodos de bisección, punto fijo, Newton-Raphson y secante [Familiarizarse]
- 2.
- Implementar el método de Newton-Raphson y el método de la secante para aproximar raíces de una función no lineal [Usar]
- 3.
- Analizar el orden de convergencia de un método iterativo dado y justificar la elección de método según el costo computacional y la disponibilidad de la derivada [Evaluar]
5.24.4.3. Teoría de Aproximación e Interpolación (10 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C11]
Referencias Bibliográficas: [Chapra and Canale, 2015, Burden and Faires, 2010]
Temas
- 1.
- Interpolación polinomial: Lagrange, diferencias divididas de Newton y fenómeno de Runge
- 2.
- Interpolación por splines: splines cúbicos, B-splines y métodos de funciones polinómicas a trozos
- 3.
- Mejor aproximación en espacios normados: Chebyshev (minimax) y mínimos cuadrados
- 4.
- Polinomios de Chebyshev: propiedades, ortogonalidad y convergencia espectral
- 5.
- Aproximación trigonométrica y transformada rápida de Fourier (FFT)
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)
- 1.
- Explicar el fenómeno de Runge y justificar la elección de nodos de Chebyshev para mitigarlo [Familiarizarse]
- 2.
- Construir interpolantes por splines cúbicos y de Chebyshev para datos dados y estimar el error de interpolación [Usar]
- 3.
- Aplicar la FFT para calcular eficientemente aproximaciones trigonométricas de una función muestreada [Evaluar]
5.24.4.4. Integración Numérica y Cuadratura (10 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C11]
Referencias Bibliográficas: [Chapra and Canale, 2015, Burden and Faires, 2010]
Temas
- 1.
- Reglas de Newton-Cotes: trapezoidal, Simpson y reglas compuestas; análisis de error
- 2.
- Cuadratura adaptativa y control automático del error
- 3.
- Cuadratura gaussiana: nodos y pesos óptimos, conexión con polinomios ortogonales
- 4.
- Tratamiento numérico de integrales impropias y singulares
- 5.
- Integración de Monte Carlo y métodos cuasi-Monte Carlo para integrales de alta dimensión
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)
- 1.
- Derivar la fórmula de error para la regla compuesta de Simpson e identificar su orden de precisión [Familiarizarse]
- 2.
- Seleccionar y aplicar una regla de cuadratura apropiada (Gaussiana, adaptativa) según la regularidad del integrando [Usar]
- 3.
- Aplicar integración de Monte Carlo para estimar integrales de alta dimensión y cuantificar el error estadístico [Evaluar]
5.24.4.5. Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales (12 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C11]
Referencias Bibliográficas: [Chapra and Canale, 2015, Burden and Faires, 2010]
Temas
- 1.
- Métodos de Runge-Kutta: Euler, RK4 y métodos embebidos para control de error
- 2.
- Métodos lineales multipaso: Adams-Bashforth, Adams-Moulton y métodos BDF
- 3.
- Análisis de estabilidad: cero-estabilidad, regiones de estabilidad absoluta y EDOs rígidas
- 4.
- Métodos de diferencias finitas para EDPs parabólicas y elípticas: estabilidad y convergencia (teorema de equivalencia de Lax)
- 5.
- Problemas de valores en la frontera: método del disparo y discretización por diferencias finitas
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)
- 1.
- Comparar solucionadores de EDOs explícitos e implícitos y explicar su estabilidad relativa para problemas rígidos [Familiarizarse]
- 2.
- Implementar un método de Runge-Kutta con control de paso adaptativo y aplicarlo a un sistema de EDOs [Usar]
- 3.
- Analizar la estabilidad y convergencia de un esquema de diferencias finitas para una EDP parabólica usando el teorema de equivalencia de Lax [Evaluar]