3.1. Cálculo y Análisis (CAN)

Esta área cubre el estudio fundamental del cambio, los límites y las propiedades rigurosas de las funciones. Abarca desde la diferenciación e integración básicas hasta la teoría de la medida avanzada y los espacios funcionales, proporcionando el conjunto de herramientas esencial para todo modelado matemático.

3.1.1. CAN/Cálculo Diferencial

Derivadas de funciones de una variable: definición, reglas, derivadas de orden superior y aplicaciones a la optimización y análisis de curvas.
Temas:
Core

• Derivada como límite; interpretaciones geométrica y física; diferenciabilidad
• Reglas del producto, cociente y cadena; diferenciación implícita; razones relacionadas
• Teorema de Rolle, Teorema del Valor Medio y criterios de monotonía
• Derivadas de orden superior, polinomios de Taylor y estimación del resto
• Extremos: criterios de la primera y segunda derivada, trazado de curvas y optimización aplicada

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Interpretar la derivada como una tasa de cambio y como la pendiente de la recta tangente [Familiarizarse]

2.

Aplicar reglas de diferenciación y diferenciación implícita para calcular derivadas de funciones compuestas e implícitas [Usar]

3.

Resolver problemas de optimización y trazar curvas usando el Teorema del Valor Medio y los criterios de derivadas [Evaluar]

3.1.2. CAN/Cálculo Integral y Series

Integrales definidas e indefinidas, el Teorema Fundamental del Cálculo, técnicas de integración, integrales impropias y convergencia de sucesiones y series.
Temas:
Core

• El Teorema Fundamental del Cálculo y la antiderivada
• Técnicas de integración: sustitución, partes, fracciones parciales y sustitución trigonométrica
• Integrales impropias: criterios de convergencia y pruebas de comparación
• Sucesiones y series: pruebas de convergencia (cociente, raíz, comparación, integral)
• Series de potencias, radio de convergencia, series de Taylor y Maclaurin

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Enunciar el Teorema Fundamental del Cálculo y explicar la relación entre diferenciación e integración [Familiarizarse]

2.

Calcular integrales definidas e indefinidas usando técnicas estándar, incluyendo sustitución e integración por partes [Usar]

3.

Determinar la convergencia de integrales impropias y series de potencias y construir series de Taylor para funciones estándar [Evaluar]

3.1.3. CAN/Cálculo Diferencial Multivariable

Cálculo diferencial de funciones escalares de varias variables: límites, derivadas parciales, gradiente, plano tangente, optimización y teorema de Taylor.
Temas:
Core

• Límites y continuidad de funciones de varias variables en ℝⁿ
• Derivadas parciales, derivadas direccionales y el vector gradiente
• Plano tangente, diferencial total y aproximación lineal
• Extremos de funciones multivariables y multiplicadores de Lagrange
• Teorema de Taylor para funciones de varias variables

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Evaluar límites y determinar la continuidad de funciones de varias variables [Familiarizarse]

2.

Calcular gradientes, derivadas direccionales y planos tangentes para funciones multivariables [Usar]

3.

Aplicar multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización con restricciones [Usar]

4.

Expandir funciones de varias variables usando el teorema de Taylor y estimar cotas de error [Evaluar]

3.1.4. CAN/Análisis Armónico y Teoría de Fourier

Series y transformadas de Fourier, teoría L², distribuciones y wavelets, con aplicaciones al procesamiento de señales y EDPs.
Temas:
Core

• Series de Fourier: convergencia, teorema de Parseval y completitud L²
• La transformada de Fourier en L¹ y L²: propiedades, inversión y convolución
• Teorema de Plancherel y distribuciones temperadas (espacio de Schwartz)
• Teoría de wavelets: análisis multirresolución y la transformada wavelet discreta
• 

  Aplicaciones al procesamiento de señales, resolución de EDPs y compresión de datos

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Descomponer funciones periódicas en series de Fourier y evaluar la convergencia puntual y en L² [Familiarizarse]

2.

Aplicar la transformada de Fourier para resolver EDPs lineales y calcular convoluciones [Usar]

3.

Analizar la tasa de decaimiento de los coeficientes de Fourier en relación con la suavidad de una función [Evaluar]