3.6. Modelado y Simulación Matemática (MMS)

Esta área cubre las herramientas matemáticas para describir y simular fenómenos del mundo real, abarcando ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, sistemas dinámicos, métodos de perturbación, dinámica de fluidos, teoría de control y modelado basado en agentes.

área de Conocimiento (Knowledge Area-KA) (KA)	Core Tier1	Core Tier2	Electivo
3.6.1 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias			No
line:11200 ?? Ecuaciones en Derivadas Parciales			No
3.6.2 Sistemas Dinámicos y Caos			No
line:11202?? Análisis Asintótico y Métodos de Perturbación			No
line:11203?? Dinámica de Fluidos Matemática			No
3.6.3 Teoría de Control Matemático			No
3.6.4 Ecuaciones Diferenciales Estocásticas			No
line:11206?? Modelado Basado en Agentes y Sistemas Complejos			No

3.6.1. MMS/Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Teoría y métodos de solución para EDOs: ecuaciones de primer y superior orden, sistemas lineales, análisis cualitativo y teoremas de existencia.
Temas:
Core

• EDOs de primer orden: separables, lineales, ecuaciones exactas y factores integrantes
• EDOs lineales de orden superior: ecuaciones características, variación de parámetros y coeficientes indeterminados
• Sistemas de EDOs lineales: exponencial de matriz, métodos de valores propios y retratos de fase
• Teoremas de existencia y unicidad (Picard-Lindelöf) y continuación de soluciones
• Métodos de transformada de Laplace para resolver EDOs con forzamiento discontinuo

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Clasificar EDOs por orden, linealidad y tipo, y seleccionar un método de solución apropiado [Familiarizarse]

2.

Resolver sistemas lineales de EDOs usando métodos de valores propios y esbozar sus retratos de fase [Usar]

3.

Aplicar la transformada de Laplace para resolver EDOs con funciones de forzamiento a trozos e impulsivas [Evaluar]

3.6.2. MMS/Sistemas Dinámicos y Caos

Análisis del plano de fase, estabilidad, bifurcaciones, ciclos límite, atractores extraños y caos en sistemas continuos y discretos.
Temas:
Core

• Retratos de fase de sistemas 2D: equilibrios, estabilidad y ciclos límite
• Teoría de estabilidad de Lyapunov y teorema de linealización (Hartman-Grobman)
• Teoría de bifurcaciones: silla-nodo, pitchfork, Hopf y bifurcaciones globales
• Caos: sistema de Lorenz, sensibilidad a condiciones iniciales y exponentes de Lyapunov

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Esbozar retratos de fase de sistemas autónomos 2D y clasificar equilibrios por estabilidad [Familiarizarse]

2.

Aplicar el método de Lyapunov y el teorema de Hartman-Grobman para evaluar la estabilidad de equilibrios [Usar]

3.

Identificar tipos de bifurcación en sistemas parametrizados y rastrear la evolución de conjuntos invariantes [Evaluar]

3.6.3. MMS/Teoría de Control Matemático

Modelos de espacio de estados, controlabilidad y observabilidad, diseño de realimentación, estabilidad (Lyapunov) y control óptimo.
Temas:
Core

• Representación en espacio de estados de sistemas lineales: funciones de transferencia y realizaciones
• Controlabilidad y observabilidad: condiciones de rango y descomposición de Kalman
• Estabilización por realimentación: asignación de polos, diseño LQR y principio de separación
• Estabilidad de Lyapunov para sistemas no lineales y estabilidad entrada-salida
• Control óptimo: Principio de Máximo de Pontryagin y ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Determinar la controlabilidad y observabilidad de un sistema lineal a partir de sus matrices de espacio de estados [Familiarizarse]

2.

Diseñar un controlador por realimentación de estados mediante asignación de polos u optimización LQR [Usar]

3.

Aplicar el Principio de Máximo de Pontryagin para resolver un problema básico de control óptimo [Evaluar]

3.6.4. MMS/Ecuaciones Diferenciales Estocásticas

Cálculo de Itô, EDEs impulsadas por movimiento browniano, ecuación de Fokker-Planck y simulación numérica de EDEs.
Temas:
Core

• Integral de Itô, variación cuadrática y fórmula de Itô
• Existencia y unicidad de soluciones de EDEs bajo condiciones de Lipschitz
• Ecuación de Fokker-Planck: deducción y conexión con EDEs
• Fórmula de Feynman-Kac y conexiones con EDPs parabólicas
• Esquemas de Euler-Maruyama y Milstein para simulación numérica de EDEs

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Enunciar la fórmula de Itô y aplicarla para calcular la diferencial de una función de un proceso estocástico [Familiarizarse]

2.

Derivar la ecuación de Fokker-Planck a partir de una EDE dada e interpretarla como un flujo de probabilidad [Usar]

3.

Implementar el esquema de Euler-Maruyama para simular trayectorias de una ecuación diferencial estocástica [Evaluar]