3.5. Análisis Numérico y Científico (NSA)

Esta área cubre el diseño, análisis e implementación de algoritmos para el cálculo numérico, incluyendo aritmética de punto flotante, sistemas lineales, aproximación, integración, ecuaciones diferenciales, optimización y computación de alto rendimiento.

3.5.1. NSA/Análisis de Error y Aritmética de Punto Flotante

Fuentes de error numérico, aritmética de punto flotante IEEE 754, redondeo, cancelación y análisis de error hacia adelante y hacia atrás.
Temas:
Core

• Representación de punto flotante IEEE 754: épsilon de la máquina, desbordamiento, subdesbordamiento y modos de redondeo
• Errores de redondeo, cancelación catastrófica y pérdida de significancia
• Análisis de error hacia adelante y hacia atrás; número de condición de un problema
• Estabilidad numérica: algoritmos estables vs. inestables; análisis de error hacia atrás de Wilkinson
• 

  Propagación del error en operaciones aritméticas y evaluación de funciones

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Explicar el estándar de punto flotante IEEE 754 e identificar las fuentes de errores de redondeo y cancelación [Familiarizarse]

2.

Estimar el número de condición de un problema y predecir la precisión de un resultado numérico [Usar]

3.

Analizar un algoritmo en cuanto a su estabilidad numérica utilizando cotas de error hacia adelante y hacia atrás [Evaluar]

3.5.2. NSA/Búsqueda de Raíces de Ecuaciones No Lineales

Métodos iterativos para aproximar raíces de ecuaciones no lineales de una variable, su análisis de convergencia y su extensión a sistemas de ecuaciones no lineales.
Temas:
Core

• Método de bisección: acotamiento del intervalo, criterio de parada y cota del error
• Método de Newton-Raphson: derivación, convergencia cuadrática y casos de falla
• Método de la secante como alternativa al método de Newton sin derivada explícita
• Orden de convergencia y comparación de la eficiencia entre métodos iterativos
• Extensión del método de Newton a sistemas de ecuaciones no lineales mediante la matriz Jacobiana

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Comparar las hipótesis y garantías de convergencia de los métodos de bisección, punto fijo, Newton-Raphson y secante [Familiarizarse]

2.

Implementar el método de Newton-Raphson y el método de la secante para aproximar raíces de una función no lineal [Usar]

3.

Analizar el orden de convergencia de un método iterativo dado y justificar la elección de método según el costo computacional y la disponibilidad de la derivada [Evaluar]

3.5.3. NSA/álgebra Lineal Numérica

Algoritmos para resolver sistemas lineales, problemas de mínimos cuadrados, problemas de valores propios y factorizaciones matriciales, con atención a la estabilidad y complejidad.
Temas:
Core

• Eliminación gaussiana con pivoteo parcial, factorización LU y análisis de complejidad
• Factorización QR mediante Householder y Gram-Schmidt; problemas de mínimos cuadrados
• Algoritmos para valores propios: iteración por potencias, algoritmo QR y método de Lanczos
• Descomposición en valores singulares: cálculo, truncamiento y aplicaciones (PCA, pseudoinversa)
• Métodos iterativos para sistemas grandes dispersos: CG, GMRES y precondicionamiento

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Comparar solucionadores directos e iterativos y seleccionar el método apropiado para una estructura de matriz dada [Familiarizarse]

2.

Aplicar factorización QR y SVD para resolver problemas de mínimos cuadrados y calcular aproximaciones de bajo rango [Usar]

3.

Analizar la estabilidad numérica y el costo computacional de algoritmos para valores propios [Evaluar]

3.5.4. NSA/Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales

Métodos de diferencias finitas y Runge-Kutta para EDOs, análisis de estabilidad y métodos de diferencias finitas para EDPs.
Temas:
Core

• Métodos de Runge-Kutta: Euler, RK4 y métodos embebidos para control de error
• Métodos lineales multipaso: Adams-Bashforth, Adams-Moulton y métodos BDF
• Análisis de estabilidad: cero-estabilidad, regiones de estabilidad absoluta y EDOs rígidas
• Métodos de diferencias finitas para EDPs parabólicas y elípticas: estabilidad y convergencia (teorema de equivalencia de Lax)

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Comparar solucionadores de EDOs explícitos e implícitos y explicar su estabilidad relativa para problemas rígidos [Familiarizarse]

2.

Implementar un método de Runge-Kutta con control de paso adaptativo y aplicarlo a un sistema de EDOs [Usar]

3.

Analizar la estabilidad y convergencia de un esquema de diferencias finitas para una EDP parabólica usando el teorema de equivalencia de Lax [Evaluar]

3.5.5. NSA/Algoritmos de Optimización

Métodos de gradiente, métodos de Newton y cuasi-Newton, optimización con restricciones y algoritmos de optimización convexa.
Temas:
Core

• Descenso por gradiente y métodos de búsqueda lineal: condiciones de Armijo-Wolfe y tasas de convergencia
• Método de Newton y métodos cuasi-Newton (BFGS, L-BFGS)
• Optimización con restricciones: condiciones KKT, métodos de penalización y programación cuadrática secuencial
• Algoritmos de optimización convexa: métodos de punto interior y método de multiplicadores de dirección alterna (ADMM)
• Descenso de gradiente estocástico (SGD), reducción de varianza y optimizador Adam

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Explicar las garantías de convergencia del descenso por gradiente para funciones convexas suaves [Familiarizarse]

2.

Aplicar los métodos de Newton y cuasi-Newton a problemas de optimización sin restricciones [Usar]

3.

Formular un problema de optimización con restricciones como un sistema KKT y aplicar un método de punto interior [Evaluar]