3.4. Probabilidad y Estadística (PST)

Esta área cubre la teoría matemática de la incertidumbre y la inferencia, desde los fundamentos axiomáticos de la probabilidad hasta la metodología estadística moderna, incluyendo inferencia bayesiana, estadística de alta dimensión y análisis de series temporales.

área de Conocimiento (Knowledge Area-KA) (KA)	Core Tier1	Core Tier2	Electivo
3.4.1 Axiomas de Probabilidad y Distribuciones			No
3.4.2 Teoremas Límite			No
3.4.3 Procesos Estocásticos			No
3.4.4 Teoría de la Estimación			No
line:10950?? Contraste de Hipótesis			No
3.4.5 Inferencia Bayesiana			No
line:10952?? Estadística de Alta Dimensión			No
line:10953?? Análisis de Series Temporales			No
line:10954?? Métodos No Paramétricos			No

3.4.1. PST/Axiomas de Probabilidad y Distribuciones

Fundamentación axiomática de Kolmogorov de la probabilidad, variables aleatorias, distribuciones y esperanzas.
Temas:
Core

• Axiomas de Kolmogorov, sigma-álgebras y espacios de probabilidad
• Variables aleatorias: distribuciones discretas y continuas, CDF, PDF y PMF
• Esperanza, varianza, momentos y funciones generadoras de momentos
• Distribuciones conjuntas, marginales y condicionales; independencia y covarianza
• Familias estándar: Binomial, Poisson, Normal, Exponencial, Gamma y Beta

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Enunciar los axiomas de Kolmogorov y construir un espacio de probabilidad para un experimento estándar [Familiarizarse]

2.

Calcular esperanzas, varianzas y funciones generadoras de momentos para distribuciones estándar [Usar]

3.

Determinar distribuciones conjuntas y condicionales y evaluar la independencia de variables aleatorias [Evaluar]

3.4.2. PST/Teoremas Límite

Leyes de los grandes números, teorema central del límite, modos de convergencia y grandes desviaciones.
Temas:
Core

• Modos de convergencia: casi segura, en probabilidad, en L^p y en distribución
• Leyes débiles y fuertes de los grandes números y sus aplicaciones
• Teorema Central del Límite: enunciado, demostración mediante funciones características y cota de Berry-Esseen
• Funciones características y el teorema de continuidad (Lévy)

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Distinguir entre los modos de convergencia de variables aleatorias y proporcionar contraejemplos que muestren sus diferencias [Familiarizarse]

2.

Aplicar el Teorema Central del Límite para aproximar distribuciones de sumas y medias [Usar]

3.

Demostrar la ley fuerte de los grandes números y estimar probabilidades de grandes desviaciones usando el teorema de Cramér [Evaluar]

3.4.3. PST/Procesos Estocásticos

Cadenas de Markov, procesos de Poisson, movimiento browniano, martingalas y cálculo estocástico.
Temas:
Core

• Cadenas de Markov en tiempo discreto: clasificación de estados, distribuciones estacionarias y teorema ergódico
• Procesos de Poisson: definición, propiedades y generalizaciones (compuesto, no homogéneo)
• Movimiento browniano: definición, propiedades de las trayectorias y principio de reflexión
• Martingalas, tiempos de parada, teorema de muestreo opcional y desigualdades de Doob

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Clasificar estados de una cadena de Markov y determinar su distribución estacionaria [Familiarizarse]

2.

Aplicar la teoría de martingalas y el teorema de muestreo opcional para resolver problemas de tiempos de parada [Usar]

3.

Modelar un sistema de colas usando procesos de llegada de Poisson y analizar su distribución en estado estacionario [Evaluar]

3.4.4. PST/Teoría de la Estimación

Estimación puntual y por intervalos: suficiencia, insesgadez, eficiencia, máxima verosimilitud y teoría asintótica.
Temas:
Core

• Estadísticos suficientes, teorema de factorización y completitud
• Estimadores insesgados, cota de Cramér-Rao y UMVUE
• Estimación por máxima verosimilitud: propiedades, consistencia y normalidad asintótica
• Intervalos de confianza: cantidades pivote, razón de verosimilitud y métodos bootstrap
• Teoría asintótica: método delta, M-estimadores y matriz de información de Fisher

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Explicar la cota de Cramér-Rao e identificar cuándo existe un UMVUE mediante el teorema de Lehmann-Scheffé [Familiarizarse]

2.

Derivar estimadores de máxima verosimilitud y calcular su varianza asintótica [Usar]

3.

Construir intervalos de confianza usando cantidades pivote y remuestreo bootstrap [Evaluar]

3.4.5. PST/Inferencia Bayesiana

Paradigma bayesiano: distribuciones a priori y a posteriori, familias conjugadas, modelos jerárquicos y métodos computacionales.
Temas:
Core

• Teorema de Bayes en entornos continuos; distribuciones a priori y a posteriori
• Familias conjugadas a priori: Beta-Binomial, Dirichlet-Multinomial, Normal-Normal
• Modelos bayesianos jerárquicos y Bayes empírico
• Métodos de Monte Carlo de Cadenas de Markov (MCMC): Metropolis-Hastings y muestreo de Gibbs
• Inferencia variacional y la cota inferior de la evidencia (ELBO)

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1.

Aplicar el teorema de Bayes para actualizar una distribución a priori con datos observados y obtener una distribución a posteriori [Familiarizarse]

2.

Construir un modelo bayesiano jerárquico y derivar sus distribuciones conjunta y condicionales [Usar]

3.

Implementar muestreo de Gibbs o Metropolis-Hastings para aproximar una distribución a posteriori [Evaluar]