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5.16. Cálculo Diferencial e Integral Avanzado (Obligatorio)

5.16.1. Justificación ↑ Volver arriba

El cálculo diferencial e integral avanzado es fundamental para la comprensión rigurosa de los fenómenos multidimensionales en ingeniería y ciencias de la computación. Este curso aborda el estudio de funciones vectoriales, el cálculo multivariable, las transformaciones diferenciables, las integrales múltiples y el cálculo integral en variedades, incluyendo los grandes teoremas de Green, Stokes y Gauss. Estas herramientas son esenciales para modelar sistemas complejos, optimizar funciones multivariables y resolver problemas en gráficos por computadora, visión artificial y simulaciones físicas.

5.16.2. Objetivos Generales ↑ Volver arriba

1. Estudiar las funciones vectoriales de variable real y la geometría diferencial de curvas en el espacio.
2. Aplicar el cálculo diferencial a funciones de varias variables: derivadas parciales, gradiente, plano tangente, optimización y Teorema de Taylor.
3. Analizar transformaciones diferenciables entre espacios vectoriales mediante la matriz Jacobiana y los teoremas de función inversa e implícita.
4. Evaluar integrales múltiples en distintos sistemas de coordenadas y calcular áreas, volúmenes y centros de masa.
5. Calcular integrales de línea y aplicar el Teorema de Green y el concepto de campos conservativos.
6. Calcular integrales de superficie y aplicar los Teoremas de Stokes y de la Divergencia.

5.16.3. Contribución a los resultados (Outcomes) ↑ Volver arriba

AG-C07) Conocimientos de Computación: Aplica conocimientos de matemáticas, ciencias y computación. (Assessment)

5.16.4. Contenido ↑ Volver arriba

5.16.4.1. Funciones Vectoriales de una Variable Real (14 horas) [Habilidades AG-C07] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Apostol, 1997; Marsden and Tromba, 2011)

Temas

1. Definición, dominio y rango de funciones vectoriales de una variable real
2. Límites, continuidad y derivadas de funciones vectoriales
3. Longitud de arco y parametrización natural de una curva
4. Vectores tangente, normal y binormal; triedro móvil de Frenet
5. Curvatura, torsión y fórmulas de Frenet-Serret

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Identificar límites, continuidad y derivadas de funciones vectoriales de una variable real [Familiarizarse]
2. Calcular vectores tangente, normal y binormal y reparametrizar una curva por longitud de arco [Usar]
3. Calcular curvatura y torsión usando las fórmulas de Frenet-Serret [Evaluar]

5.16.4.2. Cálculo Diferencial Multivariable (18 horas) [Habilidades AG-C07] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Apostol, 1997; Marsden and Tromba, 2011)

Temas

1. Límites y continuidad de funciones de varias variables en \(\mathbb{R}^n\)
2. Derivadas parciales, derivadas direccionales y el vector gradiente
3. Plano tangente, diferencial total y aproximación lineal
4. Extremos de funciones multivariables y multiplicadores de Lagrange
5. Teorema de Taylor para funciones de varias variables

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Evaluar límites y determinar la continuidad de funciones de varias variables [Familiarizarse]
2. Calcular gradientes, derivadas direccionales y planos tangentes para funciones multivariables [Usar]
3. Aplicar los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización con restricciones en computación y ciencia de datos [Usar]
4. Expandir funciones de varias variables usando el Teorema de Taylor y estimar cotas de error [Evaluar]

5.16.4.3. Transformaciones Multivariables (12 horas) [Habilidades AG-C07] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Apostol, 1997; Marsden and Tromba, 2011)

Temas

1. Transformaciones de \(\mathbb{R}^n\) a \(\mathbb{R}^m\) y su diferenciabilidad
2. Matriz jacobiana y determinante jacobiano
3. Cambio de variable en coordenadas polares, cilíndricas y esféricas
4. Teorema de la función inversa
5. Teorema de la función implícita en contextos multivariables

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Describir transformaciones entre sistemas de coordenadas usando la matriz jacobiana [Familiarizarse]
2. Calcular el jacobiano y aplicar cambio de variable para evaluar integrales múltiples [Usar]
3. Aplicar los teoremas de la función inversa y de la función implícita para analizar invertibilidad local [Evaluar]

5.16.4.4. Integrales Múltiples (18 horas) [Habilidades AG-C07] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Apostol, 1997; Marsden and Tromba, 2011)

Temas

1. Integrales dobles sobre rectángulos y regiones generales; integrales iteradas (teorema de Fubini)
2. Integrales dobles en coordenadas polares y fórmula de cambio de variable
3. Integrales triples en coordenadas cartesianas y aplicaciones a volumen y masa
4. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
5. Aplicaciones: área, volumen, centros de masa y momentos de inercia

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Evaluar integrales dobles y triples sobre regiones generales usando integrales iteradas [Usar]
2. Aplicar cambios de coordenadas en sistemas polares, cilíndricos y esféricos para simplificar integrales múltiples [Usar]
3. Calcular áreas, volúmenes y centros de masa usando integrales múltiples [Evaluar]

5.16.4.5. Integrales de Línea y Campos Vectoriales (10 horas) [Habilidades AG-C07] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Apostol, 1997; Marsden and Tromba, 2011)

Temas

1. Campos vectoriales: definición, visualización, divergencia y rotacional
2. Integrales de línea de funciones escalares: longitud de arco y masa
3. Integrales de línea de campos vectoriales: trabajo y circulación
4. Campos conservativos, funciones potencial e independencia de la trayectoria
5. Teorema de Green y sus aplicaciones en el plano

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Calcular integrales de línea escalares y vectoriales sobre curvas orientadas [Usar]
2. Determinar si un campo vectorial es conservativo y construir su función potencial [Usar]
3. Aplicar el Teorema de Green para evaluar integrales de línea mediante integrales dobles [Evaluar]

5.16.4.6. Integrales de Superficie y Teoremas Fundamentales (12 horas) [Habilidades AG-C07] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Apostol, 1997; Marsden and Tromba, 2011)

Temas

1. Superficies paramétricas, plano tangente y área de superficie
2. Integrales de superficie de funciones escalares
3. Integrales de flujo: integrales de superficie de campos vectoriales
4. Teorema de Stokes: relación entre integrales de línea e integrales de superficie
5. Teorema de la Divergencia (Gauss): relación entre flujo e integral de volumen

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Parametrizar superficies y evaluar integrales de superficie escalares y de flujo [Usar]
2. Aplicar los Teoremas de Stokes y de la Divergencia para reducir integrales complejas [Evaluar]
3. Relacionar propiedades diferenciales locales (rotacional, divergencia) con el comportamiento global mediante teoremas integrales [Evaluar]

5.16.5. Referencias Bibliográficas ↑ Volver arriba

Apostol, T. M. (1997). Calculus, Vol. II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. John Wiley & Sons, 2nd edition.

Marsden, J. E. and Tromba, A. (2011). Vector Calculus. W. H. Freeman and Company, 6th edition.