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3.4. Probabilidad y Estadística (PST)

Esta área cubre la teoría matemática de la incertidumbre y la inferencia, desde los axiomas de probabilidad y los procesos estocásticos hasta la inferencia bayesiana y el aprendizaje estadístico, que son fundamentos esenciales para la IA, la ciencia de datos y el aprendizaje automático.

Área de Conocimiento (KA)	CS Core	KA Core
3.4.1 Axiomas de Probabilidad y Distribuciones	Electivo
3.4.2 Teoremas Límite	Electivo
3.4.3 Procesos Estocásticos	Electivo
3.4.4 Teoría de la Estimación	Electivo
3.4.5 Inferencia Bayesiana	Electivo

3.4.1. PST/Axiomas de Probabilidad y Distribuciones ↑ Volver arriba

Fundamento axiomático de la probabilidad de Kolmogorov, variables aleatorias, distribuciones y esperanzas, con aplicaciones en análisis de algoritmos e IA.
Temas:
Core

• Axiomas de Kolmogorov, sigma-álgebras y espacios de probabilidad
• Variables aleatorias: distribuciones discretas y continuas, FDA, FDP y FMP
• Esperanza, varianza, momentos y funciones generadoras de momentos
• Distribuciones conjuntas, marginales y condicionales; independencia y covarianza
• Familias estándar: Binomial, Poisson, Normal, Exponencial, Gamma y Beta

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Enunciar los axiomas de Kolmogorov y construir un espacio de probabilidad para un experimento estándar [Familiarizarse]
2. Calcular esperanzas, varianzas y funciones generadoras de momentos para distribuciones estándar [Usar]
3. Determinar distribuciones conjuntas y condicionales y evaluar la independencia de variables aleatorias [Evaluar]

3.4.2. PST/Teoremas Límite ↑ Volver arriba

Leyes de los grandes números, teorema central del límite, modos de convergencia y grandes desviaciones, fundamentales para el análisis de algoritmos y la inferencia estadística.
Temas:
Core

• Modos de convergencia: casi seguro, en probabilidad, en \(L^p\) y en distribución
• Leyes débil y fuerte de los grandes números y sus aplicaciones
• Teorema Central del Límite: enunciado, demostración mediante funciones características y la cota de Berry-Esseen
• Funciones características y el teorema de continuidad (Lévy)

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Distinguir entre los modos de convergencia de variables aleatorias y proporcionar contraejemplos [Familiarizarse]
2. Aplicar el Teorema Central del Límite para aproximar distribuciones de sumas y medias [Usar]
3. Demostrar la ley fuerte de los grandes números y estimar probabilidades de grandes desviaciones [Evaluar]

3.4.3. PST/Procesos Estocásticos ↑ Volver arriba

Cadenas de Markov, procesos de Poisson, movimiento browniano, martingalas y cálculo estocástico, con aplicaciones a colas, simulación y aprendizaje por refuerzo.
Temas:
Core

• Cadenas de Markov en tiempo discreto: clasificación de estados, distribuciones estacionarias y teorema ergódico
• Procesos de Poisson: definición, propiedades y generalizaciones (compuesto, inhomogéneo)
• Movimiento browniano: definición, propiedades de las trayectorias y el principio de reflexión
• Martingalas, tiempos de parada, teorema de muestreo opcional y las desigualdades de Doob

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Clasificar los estados de una cadena de Markov y determinar su distribución estacionaria [Familiarizarse]
2. Aplicar la teoría de martingalas y el teorema de muestreo opcional para resolver problemas de tiempo de parada [Usar]
3. Modelar un sistema de colas usando procesos de llegada de Poisson y analizar su distribución en estado estacionario [Evaluar]

3.4.4. PST/Teoría de la Estimación ↑ Volver arriba

Estimación puntual y por intervalos: suficiencia, máxima verosimilitud y teoría asintótica, usados en todo el aprendizaje estadístico y la ciencia de datos.
Temas:
Core

• Estadísticos suficientes, el teorema de factorización y completitud
• Estimadores insesgados, la cota de Cramér-Rao y el UMVUE
• Estimación por máxima verosimilitud: propiedades, consistencia y normalidad asintótica
• Intervalos de confianza: cantidades pivotales, razón de verosimilitud y métodos bootstrap
• Teoría asintótica: el método delta, M-estimadores y la matriz de información de Fisher

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Explicar la cota de Cramér-Rao e identificar cuando existe un UMVUE [Familiarizarse]
2. Derivar estimadores de máxima verosimilitud y calcular su varianza asintótica [Usar]
3. Construir intervalos de confianza usando cantidades pivotales y remuestreo bootstrap [Evaluar]

3.4.5. PST/Inferencia Bayesiana ↑ Volver arriba

Paradigma bayesiano: distribuciones a priori y a posteriori, familias conjugadas, modelos jerárquicos y métodos MCMC, centrales para el aprendizaje automático probabilístico e IA.
Temas:
Core

• Teorema de Bayes en contextos continuos; distribuciones a priori y a posteriori
• Familias de priori conjugadas: Beta-Binomial, Dirichlet-Multinomial, Normal-Normal
• Modelos bayesianos jerárquicos y Bayes empírico
• Cadenas de Markov Monte Carlo (MCMC): Metropolis-Hastings y muestreo de Gibbs
• Inferencia variacional y la cota inferior de la evidencia (ELBO)

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Aplicar el Teorema de Bayes para actualizar una distribución a priori con datos observados y obtener la distribución a posteriori [Familiarizarse]
2. Construir un modelo bayesiano jerárquico y derivar sus distribuciones conjuntas y condicionales [Usar]
3. Implementar el muestreo de Gibbs o Metropolis-Hastings para aproximar una distribución a posteriori [Evaluar]