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3.6. Modelado Matemático y Simulación (MMS)

Esta área cubre las herramientas matemáticas para describir y simular sistemas computacionales y físicos, abarcando ecuaciones diferenciales ordinarias, sistemas dinámicos, teoría de control y ecuaciones diferenciales estocásticas, con aplicaciones directas en ingeniería de simulación, robótica y sistemas de IA.

Área de Conocimiento (KA)	CS Core	KA Core
3.6.1 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias	Electivo
3.6.2 Sistemas Dinámicos y Caos	Electivo
3.6.3 Teoría Matemática del Control	Electivo
3.6.4 Ecuaciones Diferenciales Estocásticas	Electivo

3.6.1. MMS/Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ↑ Volver arriba

Teoría y métodos de solución para EDOs: ecuaciones de primer y orden superior, sistemas lineales, análisis cualitativo y métodos de transformada de Laplace usados en el modelado de sistemas.
Temas:
Core

• EDOs de primer orden: separables, lineales, exactas e integrales
• EDOs lineales de orden superior: ecuaciones características, variación de parámetros y coeficientes indeterminados
• Sistemas de EDOs lineales: exponencial matricial, métodos de valores propios y retratos de fase
• Teoremas de existencia y unicidad (Picard-Lindelöf) y continuación de soluciones
• Métodos de la transformada de Laplace para resolver EDOs con forzamiento discontinuo

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Clasificar las EDOs por orden, linealidad y tipo, y seleccionar el método de solución apropiado [Familiarizarse]
2. Resolver sistemas lineales de EDOs usando métodos de valores propios y trazar sus retratos de fase [Usar]
3. Aplicar la transformada de Laplace para resolver EDOs con funciones de forzamiento en tramos e impulsivas [Evaluar]

3.6.2. MMS/Sistemas Dinámicos y Caos ↑ Volver arriba

Análisis del plano de fase, estabilidad, bifurcaciones, ciclos límite y caos en sistemas continuos y discretos, relevante para la dinámica de redes, los modelos de computación biológica y los sistemas de agentes.
Temas:
Core

• Retratos de fase de sistemas 2D: equilibrios, estabilidad y ciclos límite
• Teoría de estabilidad de Lyapunov y el teorema de linealización (Hartman-Grobman)
• Teoría de bifurcaciones: nodo de silla, horquilla, Hopf y bifurcaciones globales
• Caos: sistema de Lorenz, sensibilidad a las condiciones iniciales y exponentes de Lyapunov

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Trazar retratos de fase de sistemas autónomos 2D y clasificar los equilibrios por estabilidad [Familiarizarse]
2. Aplicar el método de Lyapunov y el teorema de Hartman-Grobman para evaluar la estabilidad de los equilibrios [Usar]
3. Identificar los tipos de bifurcación en sistemas parametrizados y trazar la evolución de los conjuntos invariantes [Evaluar]

3.6.3. MMS/Teoría Matemática del Control ↑ Volver arriba

Modelos en espacio de estado, controlabilidad y observabilidad, diseño de realimentación, estabilidad de Lyapunov y control óptimo, con aplicaciones en robótica, sistemas empotrados y agentes autónomos.
Temas:
Core

• Representación en espacio de estado de sistemas lineales: funciones de transferencia y realizaciones
• Controlabilidad y observabilidad: condiciones de rango y descomposición de Kalman
• Estabilización por realimentación: asignación de polos, diseño LQR y el principio de separación
• Estabilidad de Lyapunov para sistemas no lineales y estabilidad entrada-salida
• Control óptimo: el Principio del Máximo de Pontryagin y la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Determinar la controlabilidad y observabilidad de un sistema lineal a partir de sus matrices en espacio de estado [Familiarizarse]
2. Diseñar un controlador de realimentación de estado usando la asignación de polos o la optimización LQR [Usar]
3. Aplicar el Principio del Máximo de Pontryagin para resolver un problema básico de control óptimo [Evaluar]

3.6.4. MMS/Ecuaciones Diferenciales Estocásticas ↑ Volver arriba

Cálculo de Itô, EDEs impulsadas por movimiento browniano, la ecuación de Fokker-Planck y la simulación numérica de EDEs, fundamentales para el aprendizaje automático probabilístico y los modelos de difusión.
Temas:
Core

• Integral de Itô, variación cuadrática y la fórmula de Itô
• Existencia y unicidad de soluciones para EDEs bajo condiciones de Lipschitz
• Ecuación de Fokker-Planck: derivación y conexión con las EDEs
• Fórmula de Feynman-Kac y conexiones con las EDPs parabólicas
• Esquemas de Euler-Maruyama y Milstein para la simulación numérica de EDEs

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Enunciar la fórmula de Itô y aplicarla para calcular el diferencial de una función de un proceso estocástico [Familiarizarse]
2. Derivar la ecuación de Fokker-Planck a partir de una EDE dada e interpretarla como un flujo de probabilidad [Usar]
3. Implementar el esquema de Euler-Maruyama para simular trayectorias de una ecuación diferencial estocástica [Evaluar]