5.24. Métodos Numéricos (Obligatorio)

5.24. Métodos Numéricos (Obligatorio)

Figura 5.24: Mapa de Conexión. MA202 Métodos Numéricos

5.24.1. Justificación ↑ Volver arriba

Los métodos numéricos son una herramienta fundamental compartida por la informática y las disciplinas de ingeniería para aproximar soluciones a problemas matemáticos que no pueden resolverse analíticamente. Este curso proporciona una introducción a los métodos numéricos más comunes, incluyendo el análisis de errores, la solución de ecuaciones no lineales, la interpolación, la integración numérica y la solución de ecuaciones diferenciales, en contextos científicos y de ingeniería.

5.24.2. Objetivos Generales ↑ Volver arriba

  1. Comprender la importancia de los métodos numéricos en la resolución de problemas científicos y de ingeniería.
  2. Aplicar diferentes métodos numéricos para aproximar soluciones a problemas matemáticos.
  3. Analizar la precisión y eficiencia de los métodos numéricos utilizados.

5.24.3. Contribución a los resultados (Outcomes) ↑ Volver arriba

AG-C08) Análisis de Problemas: Identifica, formula y analiza problemas complejos de computación. (Usage)
AG-C11) Uso de Herramientas: Aplica herramientas modernas de computación en la resolución de problemas. (Usage)
AG-C09) Diseño y Desarrollo de Soluciones: Diseña, implementa y evalúa soluciones para problemas complejos de computación. (Usage)

5.24.4. Contenido ↑ Volver arriba

5.24.4.1. Análisis de Errores y Aritmética de Punto Flotante (6 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C11] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Chapra and Canale, 2015; Burden and Faires, 2010)

Temas

  1. Representación en punto flotante IEEE 754: épsilon de máquina, desbordamiento, subdesbordamiento y modos de redondeo
  2. Errores de redondeo, cancelación catastrófica y pérdida de significado
  3. Análisis de error directo e inverso; número de condición de un problema
  4. Estabilidad numérica: algoritmos estables vs. inestables; análisis de error inverso de Wilkinson
  5. Propagación de errores en operaciones aritméticas y evaluación de funciones

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

  1. Explicar el estándar IEEE 754 de punto flotante e identificar las fuentes de errores de redondeo y cancelación [Familiarizarse]
  2. Estimar el número de condición de un problema y predecir la precisión de un resultado numérico [Usar]
  3. Analizar un algoritmo para determinar su estabilidad numérica usando cotas de error directo e inverso [Evaluar]
5.24.4.2. Búsqueda de Raíces de Ecuaciones No Lineales (10 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C11] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Chapra and Canale, 2015; Burden and Faires, 2010)

Temas

  1. Método de bisección: acotamiento del intervalo, criterio de parada y cota del error
  2. Método de Newton-Raphson: derivación, convergencia cuadrática y casos de falla
  3. Método de la secante como alternativa al método de Newton sin derivada explícita
  4. Orden de convergencia y comparación de la eficiencia entre métodos iterativos
  5. Extensión del método de Newton a sistemas de ecuaciones no lineales mediante la matriz Jacobiana, base de solucionadores en aprendizaje automático

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

  1. Comparar las garantías de convergencia de los métodos de bisección, Newton-Raphson y secante [Familiarizarse]
  2. Implementar el método de Newton-Raphson para aproximar raíces de una función no lineal [Usar]
  3. Analizar el orden de convergencia de un método iterativo y justificar su elección según el costo computacional [Evaluar]
5.24.4.3. Teoría de Aproximación e Interpolación (10 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C11] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Chapra and Canale, 2015; Burden and Faires, 2010)

Temas

  1. Interpolación polinomial: Lagrange, diferencias divididas de Newton y fenómeno de Runge
  2. Interpolación por splines: splines cúbicos, B-splines y métodos de funciones polinómicas a trozos
  3. Mejor aproximación en espacios normados: Chebyshev (minimax) y mínimos cuadrados
  4. Polinomios de Chebyshev: propiedades, ortogonalidad y convergencia espectral
  5. Aproximación trigonométrica y transformada rápida de Fourier (FFT)

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

  1. Explicar el fenómeno de Runge y justificar la elección de nodos de Chebyshev para mitigarlo [Familiarizarse]
  2. Construir interpolantes por splines cúbicos y de Chebyshev para datos dados y estimar el error de interpolación [Usar]
  3. Aplicar la FFT para calcular eficientemente aproximaciones trigonométricas de una función muestreada [Evaluar]
5.24.4.4. Integración Numérica y Cuadratura (10 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C11] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Chapra and Canale, 2015; Burden and Faires, 2010)

Temas

  1. Reglas de Newton-Cotes: trapezoidal, Simpson y reglas compuestas; análisis de error
  2. Cuadratura adaptativa y control automático del error
  3. Cuadratura gaussiana: nodos y pesos óptimos, conexión con polinomios ortogonales
  4. Tratamiento numérico de integrales impropias y singulares
  5. Integración de Monte Carlo y métodos cuasi-Monte Carlo para integrales de alta dimensión

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

  1. Derivar la fórmula de error para la regla compuesta de Simpson e identificar su orden de precisión [Familiarizarse]
  2. Seleccionar y aplicar una regla de cuadratura apropiada (Gaussiana, adaptativa) según la regularidad del integrando [Usar]
  3. Aplicar integración de Monte Carlo para estimar integrales de alta dimensión y cuantificar el error estadístico [Evaluar]
5.24.4.5. Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales (12 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C11] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Chapra and Canale, 2015; Burden and Faires, 2010)

Temas

  1. Métodos de Runge-Kutta: Euler, RK4 y métodos embebidos para control de errores
  2. Métodos de pasos múltiples: Adams-Bashforth, Adams-Moulton y métodos BDF
  3. Análisis de estabilidad: cero-estabilidad, regiones de estabilidad absoluta y EDOs rígidas
  4. Métodos de diferencias finitas para EDPs parabólicas y elípticas: estabilidad y convergencia

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

  1. Comparar solucionadores de EDOs explícitos e implícitos y explicar su estabilidad relativa para problemas rígidos [Familiarizarse]
  2. Implementar un método de Runge-Kutta con control adaptativo del paso y aplicarlo a un sistema de EDOs [Usar]
  3. Analizar la estabilidad y convergencia de un esquema de diferencias finitas para una EDP parabólica [Evaluar]
5.24.4.6. Álgebra Lineal Numérica (12 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C11] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Burden and Faires, 2010; Trefethen and III, 1997)

Temas

  1. Eliminación gaussiana con pivoteo parcial, factorización LU y análisis de complejidad
  2. Factorización QR vía Householder y Gram-Schmidt; problemas de mínimos cuadrados
  3. Algoritmos de valores propios: iteración de la potencia, algoritmo QR y el método de Lanczos
  4. Descomposición en valores singulares: cálculo, truncamiento y aplicaciones (ACP, pseudoinversa)
  5. Métodos iterativos para sistemas dispersos grandes: GC, GMRES y precondicionamiento

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

  1. Comparar solucionadores directos e iterativos y seleccionar el método adecuado para una estructura matricial dada [Familiarizarse]
  2. Aplicar la factorización QR y la SVD para resolver problemas de mínimos cuadrados y calcular aproximaciones de bajo rango [Usar]
  3. Analizar la estabilidad numérica y el costo computacional de los algoritmos de valores propios [Evaluar]
5.24.4.7. Método de Elementos Finitos (8 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C09] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Reddy, 2019; Burden and Faires, 2010)

Temas

  1. Formulación débil (variacional) de problemas de valor en la frontera y espacios de Sobolev
  2. Método de Galerkin: espacios de aproximación de dimensión finita y matriz de rigidez
  3. Espacios de elementos finitos triangulares y cuadriláteros: elementos de Lagrange y conformidad
  4. Estimaciones de error a priori: lema de Céa y cotas de error de interpolación
  5. Estimaciones de error a posteriori y refinamiento adaptativo de malla

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

  1. Derivar la formulación débil de un PVE elíptico y mostrar su equivalencia con la forma fuerte [Familiarizarse]
  2. Ensamblar la matriz de rigidez global y el vector de carga para una discretización lineal por elementos finitos [Usar]
  3. Estimar el error en \(H^1\) de una solución por elementos finitos usando el lema de Céa y la teoría de interpolación [Evaluar]
5.24.4.8. Algoritmos de Optimización (4 horas) [Habilidades AG-C09,AG-C11] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Nocedal and Wright, 2006)

Temas

  1. Descenso de gradiente y métodos de búsqueda lineal: condiciones de Armijo-Wolfe y tasas de convergencia
  2. Método de Newton y métodos cuasi-Newton (BFGS, L-BFGS)
  3. Optimización con restricciones: condiciones KKT, métodos de penalización y programación cuadrática secuencial
  4. Algoritmos de optimización convexa: métodos de punto interior y ADMM
  5. Descenso de gradiente estocástico (SGD), reducción de varianza y el optimizador Adam

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

  1. Explicar las garantías de convergencia del descenso de gradiente para funciones convexas suaves [Familiarizarse]
  2. Aplicar los métodos de Newton y cuasi-Newton a problemas de optimización sin restricciones [Usar]
  3. Formular un problema de optimización con restricciones como un sistema KKT y aplicar un método de punto interior [Evaluar]
5.24.4.9. Computación Paralela y de Alto Rendimiento (4 horas) [Habilidades AG-C11] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Pacheco and Malensek, 2022)

Temas

  1. Arquitecturas paralelas: memoria compartida (OpenMP), memoria distribuida (MPI) y GPU (CUDA)
  2. Modelos de rendimiento: ley de Amdahl, modelo de línea techada y complejidad de comunicación
  3. Algoritmos paralelos para álgebra lineal densa y dispersa (ScaLAPACK, PETSc)
  4. Descomposición de dominio y solucionadores paralelos de EDPs
  5. Diferenciación automática (modo directo y reverso) y su rol en ML científico

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

  1. Explicar la ley de Amdahl e identificar los cuellos de botella que limitan la aceleración paralela en un algoritmo dado [Familiarizarse]
  2. Implementar una rutina paralela de álgebra lineal usando MPI o OpenMP y medir la eficiencia paralela [Usar]
  3. Aplicar diferenciación automática para calcular gradientes de funciones científicas complejas con fines de optimización [Evaluar]
5.24.4.10. Teoría de Grafos (4 horas) [Habilidades AG-C08] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (West, 2001)

Temas

  1. Grafos: definiciones, isomorfismo, sucesiones de grados, árboles y árboles de expansión
  2. Conectividad, Teorema de Menger y flujos en redes (flujo máximo-corte mínimo)
  3. Emparejamientos (Teorema de Hall), coloraciones de grafos y el polinomio cromático
  4. Grafos planos, fórmula de Euler, Teorema de Kuratowski y el teorema de los cuatro colores
  5. Matrices de adyacencia y laplaciana, valores propios y grafos expansores

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

  1. Identificar propiedades estructurales de grafos (conectividad, planaridad, bipartición) y aplicar la fórmula de Euler [Familiarizarse]
  2. Aplicar el Teorema de Hall y algoritmos de flujo en redes a problemas de emparejamiento y enrutamiento [Usar]
  3. Analizar el espectro de un grafo para acotar su número cromático y sus propiedades de conectividad [Evaluar]
5.24.4.11. Análisis de Series Temporales (2 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C11] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Shumway and Stoffer, 2017)

Temas

  1. Estacionariedad, función de autocovarianza y función de autocorrelación (ACF)
  2. Modelos ARMA: identificación, estimación (Yule-Walker, MLE) y diagnóstico
  3. Densidad espectral, el periodograma y el teorema de Wiener-Khinchin
  4. Modelos de espacio de estados y el filtro de Kalman
  5. Modelos ARIMA, ajuste estacional y predicción a múltiples pasos

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

  1. Identificar la estacionariedad y determinar el orden de un modelo ARMA a partir de gráficos ACF y PACF [Familiarizarse]
  2. Ajustar modelos ARIMA a datos de series temporales, validar residuos y producir predicciones [Usar]
  3. Aplicar el filtro de Kalman para estimar estados ocultos en un modelo lineal gaussiano de espacio de estados [Evaluar]

5.24.5. Referencias Bibliográficas ↑ Volver arriba

Chapra, S. C. and Canale, R. P. (2015). Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill Education.

Burden, R. L. and Faires, J. D. (2010). Numerical Analysis. Cengage Learning.

Trefethen, L. N. and III, D. B. (1997). Numerical Linear Algebra. SIAM.

Reddy, J. N. (2019). An Introduction to the Finite Element Method. McGraw-Hill Education, 4th edition.

Nocedal, J. and Wright, S. J. (2006). Numerical Optimization. Springer, 2nd edition.

Pacheco, P. S. and Malensek, M. (2022). An Introduction to Parallel Programming. Morgan Kaufmann, 2nd edition.

West, D. B. (2001). Introduction to Graph Theory. Prentice Hall, 2nd edition.

Shumway, R. H. and Stoffer, D. S. (2017). Time Series Analysis and Its Applications: With R Examples. Springer, 4th edition.

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