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5.24. Métodos Numéricos (Obligatorio)

5.24.1. Justificación ↑ Volver arriba

Los métodos numéricos son una herramienta fundamental compartida por la ciencia de la computación y las disciplinas de ingeniería para aproximar soluciones a problemas matemáticos que no pueden resolverse analíticamente. Este curso proporciona una introducción a los métodos numéricos más comunes, incluyendo análisis de error, resolución de ecuaciones no lineales, interpolación, integración numérica y solución de ecuaciones diferenciales, en contextos científicos y de ingeniería.

5.24.2. Objetivos Generales ↑ Volver arriba

1. Comprender la importancia de los métodos numéricos en la resolución de problemas científicos y de ingeniería.
2. Aplicar diferentes métodos numéricos para aproximar soluciones a problemas matemáticos.
3. Analizar la precisión y eficiencia de los métodos numéricos utilizados.

5.24.3. Contribución a los resultados (Outcomes) ↑ Volver arriba

AG-C08) Análisis de Problemas: Identifica, formula y analiza problemas complejos de computación. (Usage)

AG-C11) Uso de Herramientas: Aplica herramientas modernas de computación en la resolución de problemas. (Usage)

5.24.4. Contenido ↑ Volver arriba

5.24.4.1. Análisis de Errores y Aritmética de Punto Flotante (6 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C11] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Chapra and Canale, 2015; Burden and Faires, 2010)

Temas

1. Representación en punto flotante IEEE 754: épsilon de máquina, desbordamiento, subdesbordamiento y modos de redondeo
2. Errores de redondeo, cancelación catastrófica y pérdida de significado
3. Análisis de error directo e inverso; número de condición de un problema
4. Estabilidad numérica: algoritmos estables vs. inestables; análisis de error inverso de Wilkinson
5. Propagación de errores en operaciones aritméticas y evaluación de funciones

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Explicar el estándar IEEE 754 de punto flotante e identificar las fuentes de errores de redondeo y cancelación [Familiarizarse]
2. Estimar el número de condición de un problema y predecir la precisión de un resultado numérico [Usar]
3. Analizar un algoritmo para determinar su estabilidad numérica usando cotas de error directo e inverso [Evaluar]

5.24.4.2. Búsqueda de Raíces de Ecuaciones No Lineales (10 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C11] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Chapra and Canale, 2015; Burden and Faires, 2010)

Temas

1. Método de bisección: acotamiento del intervalo, criterio de parada y cota del error
2. Método de Newton-Raphson: derivación, convergencia cuadrática y casos de falla
3. Método de la secante como alternativa al método de Newton sin derivada explícita
4. Orden de convergencia y comparación de la eficiencia entre métodos iterativos
5. Extensión del método de Newton a sistemas de ecuaciones no lineales mediante la matriz Jacobiana, base de solucionadores en aprendizaje automático

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Comparar las garantías de convergencia de los métodos de bisección, Newton-Raphson y secante [Familiarizarse]
2. Implementar el método de Newton-Raphson para aproximar raíces de una función no lineal [Usar]
3. Analizar el orden de convergencia de un método iterativo y justificar su elección según el costo computacional [Evaluar]

5.24.4.3. Teoría de Aproximación e Interpolación (10 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C11] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Chapra and Canale, 2015; Burden and Faires, 2010)

Temas

1. Interpolación polinomial: Lagrange, diferencias divididas de Newton y fenómeno de Runge
2. Interpolación por splines: splines cúbicos, B-splines y métodos de funciones polinómicas a trozos
3. Mejor aproximación en espacios normados: Chebyshev (minimax) y mínimos cuadrados
4. Polinomios de Chebyshev: propiedades, ortogonalidad y convergencia espectral
5. Aproximación trigonométrica y transformada rápida de Fourier (FFT)

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Explicar el fenómeno de Runge y justificar la elección de nodos de Chebyshev para mitigarlo [Familiarizarse]
2. Construir interpolantes por splines cúbicos y de Chebyshev para datos dados y estimar el error de interpolación [Usar]
3. Aplicar la FFT para calcular eficientemente aproximaciones trigonométricas de una función muestreada [Evaluar]

5.24.4.4. Integración Numérica y Cuadratura (10 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C11] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Chapra and Canale, 2015; Burden and Faires, 2010)

Temas

1. Reglas de Newton-Cotes: trapezoidal, Simpson y reglas compuestas; análisis de error
2. Cuadratura adaptativa y control automático del error
3. Cuadratura gaussiana: nodos y pesos óptimos, conexión con polinomios ortogonales
4. Tratamiento numérico de integrales impropias y singulares
5. Integración de Monte Carlo y métodos cuasi-Monte Carlo para integrales de alta dimensión

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Derivar la fórmula de error para la regla compuesta de Simpson e identificar su orden de precisión [Familiarizarse]
2. Seleccionar y aplicar una regla de cuadratura apropiada (Gaussiana, adaptativa) según la regularidad del integrando [Usar]
3. Aplicar integración de Monte Carlo para estimar integrales de alta dimensión y cuantificar el error estadístico [Evaluar]

5.24.4.5. Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales (12 horas) [Habilidades AG-C08,AG-C11] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Chapra and Canale, 2015; Burden and Faires, 2010)

Temas

1. Métodos de Runge-Kutta: Euler, RK4 y métodos embebidos para control de errores
2. Métodos de pasos múltiples: Adams-Bashforth, Adams-Moulton y métodos BDF
3. Análisis de estabilidad: cero-estabilidad, regiones de estabilidad absoluta y EDOs rígidas
4. Métodos de diferencias finitas para EDPs parabólicas y elípticas: estabilidad y convergencia

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Comparar solucionadores de EDOs explícitos e implícitos y explicar su estabilidad relativa para problemas rígidos [Familiarizarse]
2. Implementar un método de Runge-Kutta con control adaptativo del paso y aplicarlo a un sistema de EDOs [Usar]
3. Analizar la estabilidad y convergencia de un esquema de diferencias finitas para una EDP parabólica [Evaluar]

5.24.5. Referencias Bibliográficas ↑ Volver arriba

Chapra, S. C. and Canale, R. P. (2015). Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill Education.

Burden, R. L. and Faires, J. D. (2010). Numerical Analysis. Cengage Learning.