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3.5. Análisis Numérico y Científico (NSA)

Esta área cubre los algoritmos numéricos para la computación: análisis de errores, solucionadores de álgebra lineal, integración numérica, ecuaciones diferenciales y métodos de optimización, esenciales para implementar sistemas computacionales confiables y software científico.

Área de Conocimiento (KA)	CS Core	KA Core
3.5.1 Teoría de Aproximación e Interpolación	Electivo
3.5.2 Integración Numérica y Cuadratura	Electivo
3.5.3 Análisis de Errores y Aritmética de Punto Flotante	Electivo
3.5.4 Búsqueda de Raíces de Ecuaciones No Lineales	Electivo
3.5.5 Álgebra Lineal Numérica	Electivo
3.5.6 Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales	Electivo
3.5.7 Algoritmos de Optimización	Electivo

3.5.1. NSA/Teoría de Aproximación e Interpolación ↑ Volver arriba

Interpolación polinomial y por splines, mejor aproximación, polinomios de Chebyshev y aproximación racional.
Temas:
Core

• Interpolación polinomial: Lagrange, diferencias divididas de Newton y fenómeno de Runge
• Interpolación por splines: splines cúbicos, B-splines y métodos de funciones polinómicas a trozos
• Mejor aproximación en espacios normados: Chebyshev (minimax) y mínimos cuadrados
• Polinomios de Chebyshev: propiedades, ortogonalidad y convergencia espectral
• Aproximación trigonométrica y transformada rápida de Fourier (FFT)

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Explicar el fenómeno de Runge y justificar la elección de nodos de Chebyshev para mitigarlo [Familiarizarse]
2. Construir interpolantes por splines cúbicos y de Chebyshev para datos dados y estimar el error de interpolación [Usar]
3. Aplicar la FFT para calcular eficientemente aproximaciones trigonométricas de una función muestreada [Evaluar]

3.5.2. NSA/Integración Numérica y Cuadratura ↑ Volver arriba

Reglas de cuadratura, integración adaptativa, cuadratura gaussiana e integración multidimensional.
Temas:
Core

• Reglas de Newton-Cotes: trapezoidal, Simpson y reglas compuestas; análisis de error
• Cuadratura adaptativa y control automático del error
• Cuadratura gaussiana: nodos y pesos óptimos, conexión con polinomios ortogonales
• Tratamiento numérico de integrales impropias y singulares
• Integración de Monte Carlo y métodos cuasi-Monte Carlo para integrales de alta dimensión

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Derivar la fórmula de error para la regla compuesta de Simpson e identificar su orden de precisión [Familiarizarse]
2. Seleccionar y aplicar una regla de cuadratura apropiada (Gaussiana, adaptativa) según la regularidad del integrando [Usar]
3. Aplicar integración de Monte Carlo para estimar integrales de alta dimensión y cuantificar el error estadístico [Evaluar]

3.5.3. NSA/Análisis de Errores y Aritmética de Punto Flotante ↑ Volver arriba

Fuentes de error numérico, aritmética de punto flotante IEEE 754, redondeo, cancelación y análisis de error directo e inverso, críticos para la ingeniería de software confiable.
Temas:
Core

• Representación en punto flotante IEEE 754: épsilon de máquina, desbordamiento, subdesbordamiento y modos de redondeo
• Errores de redondeo, cancelación catastrófica y pérdida de significado
• Análisis de error directo e inverso; número de condición de un problema
• Estabilidad numérica: algoritmos estables vs. inestables; análisis de error inverso de Wilkinson
• Propagación de errores en operaciones aritméticas y evaluación de funciones

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Explicar el estándar IEEE 754 de punto flotante e identificar las fuentes de errores de redondeo y cancelación [Familiarizarse]
2. Estimar el número de condición de un problema y predecir la precisión de un resultado numérico [Usar]
3. Analizar un algoritmo para determinar su estabilidad numérica usando cotas de error directo e inverso [Evaluar]

3.5.4. NSA/Búsqueda de Raíces de Ecuaciones No Lineales ↑ Volver arriba

Métodos iterativos para aproximar raíces de ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones no lineales, base de los solucionadores usados en optimización y aprendizaje automático.
Temas:
Core

• Método de bisección: acotamiento del intervalo, criterio de parada y cota del error
• Método de Newton-Raphson: derivación, convergencia cuadrática y casos de falla
• Método de la secante como alternativa al método de Newton sin derivada explícita
• Orden de convergencia y comparación de la eficiencia entre métodos iterativos
• Extensión del método de Newton a sistemas de ecuaciones no lineales mediante la matriz Jacobiana, base de solucionadores en aprendizaje automático

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Comparar las garantías de convergencia de los métodos de bisección, Newton-Raphson y secante [Familiarizarse]
2. Implementar el método de Newton-Raphson para aproximar raíces de una función no lineal [Usar]
3. Analizar el orden de convergencia de un método iterativo y justificar su elección según el costo computacional [Evaluar]

3.5.5. NSA/Álgebra Lineal Numérica ↑ Volver arriba

Algoritmos para resolver sistemas lineales, mínimos cuadrados, problemas de valores propios y factorizaciones matriciales, aplicados en aprendizaje automático y computación científica.
Temas:
Core

• Eliminación gaussiana con pivoteo parcial, factorización LU y análisis de complejidad
• Factorización QR vía Householder y Gram-Schmidt; problemas de mínimos cuadrados
• Algoritmos de valores propios: iteración de la potencia, algoritmo QR y el método de Lanczos
• Descomposición en valores singulares: cálculo, truncamiento y aplicaciones (ACP, pseudoinversa)
• Métodos iterativos para sistemas dispersos grandes: GC, GMRES y precondicionamiento

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Comparar solucionadores directos e iterativos y seleccionar el método adecuado para una estructura matricial dada [Familiarizarse]
2. Aplicar la factorización QR y la SVD para resolver problemas de mínimos cuadrados y calcular aproximaciones de bajo rango [Usar]
3. Analizar la estabilidad numérica y el costo computacional de los algoritmos de valores propios [Evaluar]

3.5.6. NSA/Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales ↑ Volver arriba

Métodos de diferencias finitas y Runge-Kutta para EDOs, análisis de estabilidad y métodos de diferencias finitas para EDPs, usados en simulación científica y computación basada en física.
Temas:
Core

• Métodos de Runge-Kutta: Euler, RK4 y métodos embebidos para control de errores
• Métodos de pasos múltiples: Adams-Bashforth, Adams-Moulton y métodos BDF
• Análisis de estabilidad: cero-estabilidad, regiones de estabilidad absoluta y EDOs rígidas
• Métodos de diferencias finitas para EDPs parabólicas y elípticas: estabilidad y convergencia

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Comparar solucionadores de EDOs explícitos e implícitos y explicar su estabilidad relativa para problemas rígidos [Familiarizarse]
2. Implementar un método de Runge-Kutta con control adaptativo del paso y aplicarlo a un sistema de EDOs [Usar]
3. Analizar la estabilidad y convergencia de un esquema de diferencias finitas para una EDP parabólica [Evaluar]

3.5.7. NSA/Algoritmos de Optimización ↑ Volver arriba

Métodos de gradiente, Newton y cuasi-Newton, optimización con restricciones y algoritmos de optimización convexa, fundamentales para el entrenamiento de modelos de aprendizaje automático.
Temas:
Core

• Descenso de gradiente y métodos de búsqueda lineal: condiciones de Armijo-Wolfe y tasas de convergencia
• Método de Newton y métodos cuasi-Newton (BFGS, L-BFGS)
• Optimización con restricciones: condiciones KKT, métodos de penalización y programación cuadrática secuencial
• Algoritmos de optimización convexa: métodos de punto interior y ADMM
• Descenso de gradiente estocástico (SGD), reducción de varianza y el optimizador Adam

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Explicar las garantías de convergencia del descenso de gradiente para funciones convexas suaves [Familiarizarse]
2. Aplicar los métodos de Newton y cuasi-Newton a problemas de optimización sin restricciones [Usar]
3. Formular un problema de optimización con restricciones como un sistema KKT y aplicar un método de punto interior [Evaluar]