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3.1. Cálculo y Análisis (CAN)

Esta área cubre el estudio fundamental del cambio, los límites y la integración. Abarca desde el cálculo diferencial e integral de una variable hasta el análisis multivariable y los métodos armónicos, proporcionando el instrumental analítico esencial para el análisis de algoritmos, el procesamiento de señales y el aprendizaje automático.

Área de Conocimiento (KA)	CS Core	KA Core
3.1.1 Integrales de Línea y Campos Vectoriales	Electivo
3.1.2 Integrales Múltiples	Electivo
3.1.3 Transformaciones Multivariables	Electivo
3.1.4 Integrales de Superficie y Teoremas Fundamentales	Electivo
3.1.5 Funciones Vectoriales de una Variable Real	Electivo
3.1.6 Límites y Continuidad	Electivo
3.1.7 Cálculo Diferencial	Electivo
3.1.8 Cálculo Integral y Series	Electivo
3.1.9 Cálculo Diferencial Multivariable	Electivo
3.1.10 Análisis Armónico y Teoría de Fourier	Electivo

3.1.1. CAN/Integrales de Línea y Campos Vectoriales ↑ Volver arriba

Integrales de línea escalares y vectoriales, campos conservativos, funciones potencial, independencia de la trayectoria y el Teorema de Green.
Temas:
Core

• Campos vectoriales: definición, visualización, divergencia y rotacional
• Integrales de línea de funciones escalares: longitud de arco y masa
• Integrales de línea de campos vectoriales: trabajo y circulación
• Campos conservativos, funciones potencial e independencia de la trayectoria
• Teorema de Green y sus aplicaciones en el plano

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Calcular integrales de línea escalares y vectoriales sobre curvas orientadas [Usar]
2. Determinar si un campo vectorial es conservativo y construir su función potencial [Usar]
3. Aplicar el Teorema de Green para evaluar integrales de línea mediante integrales dobles [Evaluar]

3.1.2. CAN/Integrales Múltiples ↑ Volver arriba

Integración de funciones de varias variables: integrales dobles y triples en coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas, con aplicaciones.
Temas:
Core

• Integrales dobles sobre rectángulos y regiones generales; integrales iteradas (teorema de Fubini)
• Integrales dobles en coordenadas polares y fórmula de cambio de variable
• Integrales triples en coordenadas cartesianas y aplicaciones a volumen y masa
• Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
• Aplicaciones: área, volumen, centros de masa y momentos de inercia

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Evaluar integrales dobles y triples sobre regiones generales usando integrales iteradas [Usar]
2. Aplicar cambios de coordenadas en sistemas polares, cilíndricos y esféricos para simplificar integrales múltiples [Usar]
3. Calcular áreas, volúmenes y centros de masa usando integrales múltiples [Evaluar]

3.1.3. CAN/Transformaciones Multivariables ↑ Volver arriba

Funciones vectoriales de variables vectoriales: diferenciabilidad, matriz jacobiana, cambio de variable y los teoremas de la función inversa y de la función implícita.
Temas:
Core

• Transformaciones de \(\mathbb{R}^n\) a \(\mathbb{R}^m\) y su diferenciabilidad
• Matriz jacobiana y determinante jacobiano
• Cambio de variable en coordenadas polares, cilíndricas y esféricas
• Teorema de la función inversa
• Teorema de la función implícita en contextos multivariables

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Describir transformaciones entre sistemas de coordenadas usando la matriz jacobiana [Familiarizarse]
2. Calcular el jacobiano y aplicar cambio de variable para evaluar integrales múltiples [Usar]
3. Aplicar los teoremas de la función inversa y de la función implícita para analizar invertibilidad local [Evaluar]

3.1.4. CAN/Integrales de Superficie y Teoremas Fundamentales ↑ Volver arriba

Superficies paramétricas, integrales de superficie escalares y de flujo, rotacional, divergencia y los teoremas fundamentales de Stokes y Gauss.
Temas:
Core

• Superficies paramétricas, plano tangente y área de superficie
• Integrales de superficie de funciones escalares
• Integrales de flujo: integrales de superficie de campos vectoriales
• Teorema de Stokes: relación entre integrales de línea e integrales de superficie
• Teorema de la Divergencia (Gauss): relación entre flujo e integral de volumen

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Parametrizar superficies y evaluar integrales de superficie escalares y de flujo [Usar]
2. Aplicar los Teoremas de Stokes y de la Divergencia para reducir integrales complejas [Evaluar]
3. Relacionar propiedades diferenciales locales (rotacional, divergencia) con el comportamiento global mediante teoremas integrales [Evaluar]

3.1.5. CAN/Funciones Vectoriales de una Variable Real ↑ Volver arriba

Curvas en el espacio como funciones vectoriales de una variable real, incluyendo geometría diferencial de curvas: triedro de Frenet, curvatura y torsión.
Temas:
Core

• Definición, dominio y rango de funciones vectoriales de una variable real
• Límites, continuidad y derivadas de funciones vectoriales
• Longitud de arco y parametrización natural de una curva
• Vectores tangente, normal y binormal; triedro móvil de Frenet
• Curvatura, torsión y fórmulas de Frenet-Serret

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Identificar límites, continuidad y derivadas de funciones vectoriales de una variable real [Familiarizarse]
2. Calcular vectores tangente, normal y binormal y reparametrizar una curva por longitud de arco [Usar]
3. Calcular curvatura y torsión usando las fórmulas de Frenet-Serret [Evaluar]

3.1.6. CAN/Límites y Continuidad ↑ Volver arriba

Estudio riguroso de los límites y la continuidad de funciones de una variable, incluyendo la definición épsilon-delta, las leyes de los límites y los teoremas fundamentales.
Temas:
Core

• Definición épsilon-delta de un límite y técnicas de demostración formal
• Leyes de los límites, límites laterales y límites en el infinito
• Continuidad: tipos, propiedades y el Teorema del Valor Intermedio
• Regla de L'Hôpital y formas indeterminadas
• Límites de sucesiones: convergencia, Teorema del Sándwich y Bolzano-Weierstrass

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Enunciar la definición épsilon-delta de un límite y explicar su significado geométrico [Familiarizarse]
2. Evaluar límites usando leyes de límites, la regla de L'Hôpital y análisis asintótico [Usar]
3. Demostrar continuidad o discontinuidad de una función y aplicar el Teorema del Valor Intermedio [Evaluar]

3.1.7. CAN/Cálculo Diferencial ↑ Volver arriba

Derivadas de funciones de una variable: definición, reglas, derivadas de orden superior y aplicaciones a la optimización y al análisis de algoritmos.
Temas:
Core

• La derivada como límite; interpretaciones geométricas y físicas; diferenciabilidad
• Reglas del producto, cociente y cadena; diferenciación implícita; tasas relacionadas
• Teorema de Rolle, Teorema del Valor Medio y criterios de monotonía
• Derivadas de orden superior, polinomios de Taylor y estimación del residuo
• Extremos: pruebas de la primera y segunda derivada, trazado de curvas y optimización aplicada

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Interpretar la derivada como tasa de cambio y como pendiente de la recta tangente [Familiarizarse]
2. Aplicar las reglas de diferenciación y la diferenciación implícita para calcular derivadas de funciones compuestas e implícitas [Usar]
3. Resolver problemas de optimización y trazar curvas usando el Teorema del Valor Medio y las pruebas de derivadas [Evaluar]

3.1.8. CAN/Cálculo Integral y Series ↑ Volver arriba

Integrales definidas e indefinidas, el Teorema Fundamental del Cálculo, técnicas de integración y convergencia de sucesiones y series.
Temas:
Core

• El Teorema Fundamental del Cálculo y la antiderivada
• Técnicas de integración: sustitución, partes, fracciones parciales y sustitución trigonométrica
• Integrales impropias: criterios de convergencia y pruebas de comparación
• Sucesiones y series: pruebas de convergencia (cociente, raíz, comparación, integral)
• Series de potencias, radio de convergencia, series de Taylor y Maclaurin

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Enunciar el Teorema Fundamental del Cálculo y explicar la relación entre la diferenciación y la integración [Familiarizarse]
2. Calcular integrales definidas e indefinidas usando técnicas estándar, incluyendo sustitución e integración por partes [Usar]
3. Determinar la convergencia de integrales impropias y series de potencias, y construir series de Taylor para funciones estándar [Evaluar]

3.1.9. CAN/Cálculo Diferencial Multivariable ↑ Volver arriba

Cálculo diferencial de funciones escalares de varias variables: límites, derivadas parciales, gradiente, plano tangente, optimización y el Teorema de Taylor.
Temas:
Core

• Límites y continuidad de funciones de varias variables en \(\mathbb{R}^n\)
• Derivadas parciales, derivadas direccionales y el vector gradiente
• Plano tangente, diferencial total y aproximación lineal
• Extremos de funciones multivariables y multiplicadores de Lagrange
• Teorema de Taylor para funciones de varias variables

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Evaluar límites y determinar la continuidad de funciones de varias variables [Familiarizarse]
2. Calcular gradientes, derivadas direccionales y planos tangentes para funciones multivariables [Usar]
3. Aplicar los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización con restricciones en computación y ciencia de datos [Usar]
4. Expandir funciones de varias variables usando el Teorema de Taylor y estimar cotas de error [Evaluar]

3.1.10. CAN/Análisis Armónico y Teoría de Fourier ↑ Volver arriba

Series y transformadas de Fourier con aplicaciones al procesamiento de señales, compresión y análisis espectral en computación.
Temas:
Core

• Series de Fourier: convergencia, Teorema de Parseval y completitud en \(L^2\)
• La transformada de Fourier: propiedades, inversión y convolución
• Teorema de Plancherel y distribuciones temperadas (espacio de Schwartz)
• Teoría de wavelets: análisis multirresolución y la transformada discreta de wavelets
• Aplicaciones al procesamiento de señales, resolución de EDPs y compresión de datos

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Descomponer funciones periódicas en series de Fourier y evaluar la convergencia puntual y en \(L^2\) [Familiarizarse]
2. Aplicar la transformada de Fourier para resolver sistemas lineales y calcular convoluciones en procesamiento digital de señales [Usar]
3. Analizar la tasa de decaimiento de los coeficientes de Fourier en relación con la suavidad de una función [Evaluar]