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3.2. Álgebra y Teoría de Números (ANT)

Esta área cubre las estructuras algebraicas esenciales para la computación: álgebra lineal para el aprendizaje automático y gráficos, álgebra abstracta para criptografía y teoría de códigos, y los fundamentos numéricos de los protocolos modernos de seguridad.

Área de Conocimiento (KA)	CS Core	KA Core
3.2.1 Álgebra Lineal	Electivo
3.2.2 Teoría de Grupos	Electivo
3.2.3 Anillos, Cuerpos y Teoría de Galois	Electivo
3.2.4 Criptografía y Teoría de Códigos	Electivo

3.2.1. ANT/Álgebra Lineal ↑ Volver arriba

Espacios vectoriales, transformaciones lineales, matrices, determinantes, valores propios y espacios con producto interno, con aplicaciones en aprendizaje automático, gráficos computacionales y ciencia de datos.
Temas:
Core

• Espacios y subespacios vectoriales; bases, dimensión e independencia lineal
• Transformaciones lineales, núcleo e imagen, teorema rango-nulidad y representaciones matriciales
• Determinantes: definición, propiedades, regla de Cramer e interpretación geométrica
• Valores y vectores propios; diagonalización y el teorema espectral
• Espacios con producto interno, ortogonalidad, proceso de Gram-Schmidt y mínimos cuadrados
• Descomposiciones matriciales: LU, QR y descomposición en valores singulares (SVD)

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Identificar si un conjunto con operaciones dadas forma un espacio vectorial y determinar una base [Familiarizarse]
2. Calcular valores propios, vectores propios y descomposiciones matriciales para diagonalizar o factorizar matrices [Usar]
3. Aplicar la SVD y los métodos de mínimos cuadrados para resolver sistemas lineales sobredeterminados y problemas de aproximación de datos [Evaluar]

3.2.2. ANT/Teoría de Grupos ↑ Volver arriba

Grupos, subgrupos, homomorfismos, grupos cociente y clasificación de grupos finitos, con aplicaciones a la simetría en computación y criptografía.
Temas:
Core

• Grupos, subgrupos, grupos cíclicos y orden de los elementos
• Clases laterales, Teorema de Lagrange y subgrupos normales
• Homomorfismos e isomorfismos de grupos y los teoremas de isomorfismo
• Acciones de grupos, órbitas, estabilizadores y Lema de Burnside

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Enunciar el Teorema de Lagrange y explicar la relación entre subgrupos y clases laterales [Familiarizarse]
2. Aplicar los teoremas de isomorfismo para analizar imágenes homomórficas y grupos cociente [Usar]
3. Analizar grupos de simetría que surgen en contextos de computación, como grupos de permutaciones sobre estructuras de datos [Evaluar]

3.2.3. ANT/Anillos, Cuerpos y Teoría de Galois ↑ Volver arriba

Anillos, ideales, anillos de polinomios, extensiones de cuerpos y cuerpos finitos, fundamentales para la teoría de códigos y criptografía.
Temas:
Core

• Anillos, ideales, anillos cociente y los teoremas de isomorfismo de anillos
• Anillos de polinomios: irreducibilidad, factorización y dominios de factorización única
• Extensiones de cuerpos: elementos algebraicos y trascendentes, grado y cuerpos de escisión
• Cuerpos finitos: estructura, existencia y aplicaciones en teoría de códigos

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Clasificar anillos como dominios integrales, DIP o DFU y justificar la clasificación [Familiarizarse]
2. Construir y analizar cuerpos finitos utilizados en AES y otros algoritmos criptográficos [Usar]
3. Aplicar la teoría de extensiones de cuerpos para analizar códigos correctores de errores sobre cuerpos finitos [Evaluar]

3.2.4. ANT/Criptografía y Teoría de Códigos ↑ Volver arriba

Fundamentos matemáticos de la criptografía moderna y los códigos correctores de errores, incluyendo RSA, curvas elípticas y códigos lineales.
Temas:
Core

• Aritmética modular, el criptosistema RSA y el problema del logaritmo discreto
• Curvas elípticas sobre cuerpos finitos y criptografía de curvas elípticas (ECC)
• Códigos lineales: matrices generadoras y de paridad, distancia de Hamming y corrección de errores
• Códigos cíclicos: representación polinomial, códigos BCH y Reed-Solomon

Non Core

• Criptografía postcuántica: esquemas basados en reticulados y el problema Learning With Errors (LWE)

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Explicar las hipótesis de dificultad matemática que sustentan la criptografía RSA y de curvas elípticas [Familiarizarse]
2. Construir un código lineal, calcular sus parámetros y determinar su capacidad de corrección de errores [Usar]

NonCore:

1. Analizar las hipótesis de seguridad de los esquemas criptográficos basados en reticulados en el contexto postcuántico [Evaluar]