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3.2. Álgebra y Teoría de Números (ANT)

Esta área cubre las estructuras algebraicas esenciales para la computación: álgebra lineal para el aprendizaje automático y gráficos, álgebra abstracta para criptografía y teoría de códigos, y los fundamentos numéricos de los protocolos modernos de seguridad.

Área de Conocimiento (KA)	CS Core	KA Core
3.2.1 Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales	1	1
3.2.2 Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales	1	1
3.2.3 Valores Propios, Producto Interno y Formas Cuadráticas	1	1
3.2.4 Teoría de Grupos	1	1
3.2.5 Anillos, Cuerpos y Teoría de Galois	1	1
3.2.6 Criptografía y Teoría de Códigos	1	1

3.2.1. ANT/Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales  (CS Core: 1 hr, KA Core: 1 hr) ↑ Volver arriba

Álgebra de matrices, sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de resolución, determinantes y descomposiciones matriciales, con aplicaciones en ciencia de datos y gráficos computacionales.
Temas:
Core

• Álgebra de matrices: suma, multiplicación por escalar, producto de matrices, transpuesta, tipos de matrices e inversa de una matriz
• Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante eliminación gaussiana y Gauss-Jordan; forma escalonada, rango y consistencia de sistemas
• Determinantes: definición, propiedades, regla de Cramer e interpretación geométrica
• Descomposiciones matriciales: LU, QR y descomposición en valores singulares (SVD)

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Identificar tipos de matrices y realizar operaciones básicas de álgebra matricial, incluyendo el cálculo de la inversa de una matriz [Familiarizarse]
2. Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante eliminación gaussiana o Gauss-Jordan, determinando el rango y la consistencia del sistema [Usar]
3. Aplicar la regla de Cramer y las descomposiciones LU, QR y SVD para resolver sistemas lineales y factorizar matrices [Evaluar]

3.2.2. ANT/Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales  (CS Core: 1 hr, KA Core: 1 hr) ↑ Volver arriba

Espacios vectoriales, subespacios, bases y aplicaciones lineales entre espacios vectoriales, con aplicaciones en aprendizaje automático.
Temas:
Core

• Espacios y subespacios vectoriales; bases, dimensión e independencia lineal
• Transformaciones lineales, núcleo e imagen, teorema rango-nulidad y representaciones matriciales

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Identificar si un conjunto con operaciones dadas forma un espacio vectorial y determinar una base [Familiarizarse]
2. Determinar el núcleo, la imagen y la representación matricial de una aplicación lineal, verificando el teorema de rango-nulidad [Usar]
3. Aplicar transformaciones lineales para modelar y resolver problemas de cambio de base y composición de aplicaciones [Evaluar]

3.2.3. ANT/Valores Propios, Producto Interno y Formas Cuadráticas  (CS Core: 1 hr, KA Core: 1 hr) ↑ Volver arriba

Valores propios, diagonalización, espacios con producto interno y formas cuadráticas, con aplicaciones en aprendizaje automático y ciencia de datos.
Temas:
Core

• Valores y vectores propios; diagonalización y el teorema espectral
• Espacios con producto interno, ortogonalidad, proceso de Gram-Schmidt y mínimos cuadrados
• Formas cuadráticas y definitud: clasificación en positiva, negativa e indefinida mediante valores propios

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Identificar los valores propios y vectores propios de una matriz y determinar si es diagonalizable [Familiarizarse]
2. Calcular la diagonalización de matrices mediante el teorema espectral y aplicar el proceso de Gram-Schmidt para obtener bases ortogonales [Usar]
3. Aplicar los métodos de mínimos cuadrados y la clasificación de formas cuadráticas mediante valores propios para resolver problemas de aproximación y optimización [Evaluar]

3.2.4. ANT/Teoría de Grupos  (CS Core: 1 hr, KA Core: 1 hr) ↑ Volver arriba

Grupos, subgrupos, homomorfismos, grupos cociente y clasificación de grupos finitos, con aplicaciones a la simetría en computación y criptografía.
Temas:
Core

• Grupos, subgrupos, grupos cíclicos y orden de los elementos
• Clases laterales, Teorema de Lagrange y subgrupos normales
• Homomorfismos e isomorfismos de grupos y los teoremas de isomorfismo
• Acciones de grupos, órbitas, estabilizadores y Lema de Burnside

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Enunciar el Teorema de Lagrange y explicar la relación entre subgrupos y clases laterales [Familiarizarse]
2. Aplicar los teoremas de isomorfismo para analizar imágenes homomórficas y grupos cociente [Usar]
3. Analizar grupos de simetría que surgen en contextos de computación, como grupos de permutaciones sobre estructuras de datos [Evaluar]

3.2.5. ANT/Anillos, Cuerpos y Teoría de Galois  (CS Core: 1 hr, KA Core: 1 hr) ↑ Volver arriba

Anillos, ideales, anillos de polinomios, extensiones de cuerpos y cuerpos finitos, fundamentales para la teoría de códigos y criptografía.
Temas:
Core

• Anillos, ideales, anillos cociente y los teoremas de isomorfismo de anillos
• Anillos de polinomios: irreducibilidad, factorización y dominios de factorización única
• Extensiones de cuerpos: elementos algebraicos y trascendentes, grado y cuerpos de escisión
• Cuerpos finitos: estructura, existencia y aplicaciones en teoría de códigos

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Clasificar anillos como dominios integrales, DIP o DFU y justificar la clasificación [Familiarizarse]
2. Construir y analizar cuerpos finitos utilizados en AES y otros algoritmos criptográficos [Usar]
3. Aplicar la teoría de extensiones de cuerpos para analizar códigos correctores de errores sobre cuerpos finitos [Evaluar]

3.2.6. ANT/Criptografía y Teoría de Códigos  (CS Core: 1 hr, KA Core: 1 hr) ↑ Volver arriba

Fundamentos matemáticos de la criptografía moderna y los códigos correctores de errores, incluyendo RSA, curvas elípticas y códigos lineales.
Temas:
Core

• Aritmética modular, el criptosistema RSA y el problema del logaritmo discreto
• Curvas elípticas sobre cuerpos finitos y criptografía de curvas elípticas (ECC)
• Códigos lineales: matrices generadoras y de paridad, distancia de Hamming y corrección de errores
• Códigos cíclicos: representación polinomial, códigos BCH y Reed-Solomon

Non Core

• Criptografía postcuántica: esquemas basados en reticulados y el problema Learning With Errors (LWE)

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Explicar las hipótesis de dificultad matemática que sustentan la criptografía RSA y de curvas elípticas [Familiarizarse]
2. Construir un código lineal, calcular sus parámetros y determinar su capacidad de corrección de errores [Usar]

NonCore:

1. Analizar las hipótesis de seguridad de los esquemas criptográficos basados en reticulados en el contexto postcuántico [Evaluar]