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4.1. Cálculo y Análisis (CAN)
Esta área cubre el estudio fundamental del cambio, los límites y las propiedades rigurosas de las funciones. Abarca desde la diferenciación e integración básicas hasta espacios funcionales avanzados, proporcionando las herramientas esenciales para todo modelado matemático en ingeniería.
4.1.1. CAN/Integrales de Línea y Campos Vectoriales (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba
Integrales de línea escalares y vectoriales, campos conservativos, funciones potencial, independencia de la trayectoria y el Teorema de Green.
Temas:
Core
- Campos vectoriales: definición, visualización, divergencia y rotacional
- Integrales de línea de funciones escalares: longitud de arco y masa
- Integrales de línea de campos vectoriales: trabajo y circulación
- Campos conservativos, funciones potencial e independencia de la trayectoria
- Teorema de Green y sus aplicaciones en el plano
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Calcular integrales de línea escalares y vectoriales sobre curvas orientadas [Usar]
- Determinar si un campo vectorial es conservativo y construir su función potencial [Usar]
- Aplicar el Teorema de Green para evaluar integrales de línea mediante integrales dobles [Evaluar]
4.1.2. CAN/Integrales Múltiples (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba
Integración de funciones de varias variables: integrales dobles y triples en coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas, con aplicaciones.
Temas:
Core
- Integrales dobles sobre rectángulos y regiones generales; integrales iteradas (teorema de Fubini)
- Integrales dobles en coordenadas polares y fórmula de cambio de variable
- Integrales triples en coordenadas cartesianas y aplicaciones a volumen y masa
- Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
- Aplicaciones: área, volumen, centros de masa y momentos de inercia
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Evaluar integrales dobles y triples sobre regiones generales usando integrales iteradas [Usar]
- Aplicar cambios de coordenadas en sistemas polares, cilíndricos y esféricos para simplificar integrales múltiples [Usar]
- Calcular áreas, volúmenes y centros de masa usando integrales múltiples [Evaluar]
4.1.3. CAN/Transformaciones Multivariables (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba
Funciones vectoriales de variables vectoriales: diferenciabilidad, matriz jacobiana, cambio de variable y los teoremas de la función inversa y de la función implícita.
Temas:
Core
- Transformaciones de \(\mathbb{R}^n\) a \(\mathbb{R}^m\) y su diferenciabilidad
- Matriz jacobiana y determinante jacobiano
- Cambio de variable en coordenadas polares, cilíndricas y esféricas
- Teorema de la función inversa
- Teorema de la función implícita en contextos multivariables
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Describir transformaciones entre sistemas de coordenadas usando la matriz jacobiana [Familiarizarse]
- Calcular el jacobiano y aplicar cambio de variable para evaluar integrales múltiples [Usar]
- Aplicar los teoremas de la función inversa y de la función implícita para analizar invertibilidad local [Evaluar]
4.1.4. CAN/Integrales de Superficie y Teoremas Fundamentales (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba
Superficies paramétricas, integrales de superficie escalares y de flujo, rotacional, divergencia y los teoremas fundamentales de Stokes y Gauss.
Temas:
Core
- Superficies paramétricas, plano tangente y área de superficie
- Integrales de superficie de funciones escalares
- Integrales de flujo: integrales de superficie de campos vectoriales
- Teorema de Stokes: relación entre integrales de línea e integrales de superficie
- Teorema de la Divergencia (Gauss): relación entre flujo e integral de volumen
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Parametrizar superficies y evaluar integrales de superficie escalares y de flujo [Usar]
- Aplicar los Teoremas de Stokes y de la Divergencia para reducir integrales complejas [Evaluar]
- Relacionar propiedades diferenciales locales (rotacional, divergencia) con el comportamiento global mediante teoremas integrales [Evaluar]
4.1.5. CAN/Funciones Vectoriales de una Variable Real (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba
Curvas en el espacio como funciones vectoriales de una variable real, incluyendo geometría diferencial de curvas: triedro de Frenet, curvatura y torsión.
Temas:
Core
- Definición, dominio y rango de funciones vectoriales de una variable real
- Límites, continuidad y derivadas de funciones vectoriales
- Longitud de arco y parametrización natural de una curva
- Vectores tangente, normal y binormal; triedro móvil de Frenet
- Curvatura, torsión y fórmulas de Frenet-Serret
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Identificar límites, continuidad y derivadas de funciones vectoriales de una variable real [Familiarizarse]
- Calcular vectores tangente, normal y binormal y reparametrizar una curva por longitud de arco [Usar]
- Calcular curvatura y torsión usando las fórmulas de Frenet-Serret [Evaluar]
4.1.6. CAN/Límites y Continuidad (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba
Límites y continuidad de funciones de una variable, base para el estudio riguroso del cambio en sistemas de ingeniería.
Temas:
Core
- Límites y continuidad de funciones de una variable
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Interpretar el concepto de límite y continuidad de una función y su relevancia para modelar el comportamiento de sistemas de ingeniería en el entorno de un punto [Familiarizarse]
4.1.7. CAN/Cálculo Diferencial (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba
Derivadas y reglas de diferenciación, con aplicaciones al diseño y la optimización en ingeniería.
Temas:
Core
- Derivadas y reglas de diferenciación
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Aplicar las reglas de diferenciación para determinar tasas de cambio y optimizar parámetros de diseño en ingeniería [Usar]
- Formular y resolver problemas de optimización para sistemas de ingeniería usando el cálculo diferencial [Evaluar]
4.1.8. CAN/Cálculo Integral (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba
El Teorema Fundamental del Cálculo, técnicas de integración y sus aplicaciones a problemas de ingeniería.
Temas:
Core
- El Teorema Fundamental del Cálculo
- Técnicas de integración: sustitución, integración por partes y fracciones parciales
- Aplicaciones de ingeniería de la integración: áreas, volúmenes, centroides y momentos de inercia
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Enunciar y explicar el Teorema Fundamental del Cálculo y sus implicaciones en ingeniería [Familiarizarse]
- Calcular integrales definidas en problemas de ingeniería como trabajo, presión de fluidos y transferencia de calor [Usar]
4.1.9. CAN/Integrales Impropias (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba
Integrales sobre intervalos no acotados o de funciones no acotadas, y los criterios de convergencia que los ingenieros usan para determinar si tales cantidades (p. ej. impulso total, decaimiento acumulado) son finitas.
Temas:
Core
- Integrales impropias sobre intervalos no acotados
- Integrales impropias de integrandos no acotados (discontinuos)
- Criterios de convergencia y pruebas de comparación para integrales impropias
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Determinar si una integral impropia proveniente de un modelo de ingeniería converge, usando criterios de comparación y otras pruebas de convergencia [Evaluar]
- Evaluar una integral impropia tomando el límite apropiado, cuando esta converge [Usar]
4.1.10. CAN/Sucesiones, Series y Series de Potencias (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba
Convergencia de sucesiones y series infinitas, y las aproximaciones por series de potencias (Taylor/Maclaurin) que los ingenieros usan para modelar, linealizar y evaluar numéricamente funciones.
Temas:
Core
- Sucesiones y series: criterios de convergencia (razón, raíz, comparación, integral)
- Series de potencias, radio de convergencia y series de Taylor/Maclaurin
- Uso en ingeniería de polinomios de Taylor para linealización y aproximación numérica
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Determinar la convergencia de una serie de potencias y construir una serie de Taylor para una función de ingeniería estándar [Evaluar]
- Aplicar un polinomio de Taylor para aproximar o linealizar una función de ingeniería [Usar]
4.1.11. CAN/Aplicaciones de la Integral Definida (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba
Aplicaciones geométricas y físicas de la integral definida: áreas, volúmenes de revolución, longitud de arco y trabajo, como cálculos de ingeniería construidos sobre el cálculo integral.
Temas:
Core
- Área entre curvas integrando respecto a \(x\) o \(y\)
- Volumen de sólidos de revolución por el método del disco y la arandela
- Volumen de sólidos de revolución por el método de capas cilíndricas
- Trabajo mediante integración (resortes, bombeo de fluidos, cables)
Electivo
- Momentos y centroide de una región plana o sólido
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Calcular el volumen de un sólido de revolución usando el método del disco, la arandela o las capas cilíndricas [Usar]
- Calcular el trabajo realizado por una fuerza variable mediante integración [Usar]
4.1.12. CAN/Geometría en el Espacio (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba
Vectores en el espacio tridimensional, producto punto y producto cruz, y su aplicación a rectas y planos, base del análisis vectorial en estática y dinámica.
Temas:
Core
- Producto punto y producto cruz: definición, propiedades e interpretación geométrica
- Ecuaciones de rectas y planos en el espacio
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Calcular el producto punto y el producto cruz de vectores para resolver problemas de fuerzas y momentos en ingeniería [Usar]
- Determinar ecuaciones de rectas y planos en el espacio a partir de datos geométricos de un problema de ingeniería [Usar]
4.1.13. CAN/Superficies Cuádricas (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba
Clasificación de superficies cuádricas, usadas para describir geometrías de componentes y superficies en el modelado de ingeniería.
Temas:
Core
- Clasificación de cuádricas (elipsoides, paraboloides, hiperboloides) a partir de su ecuación general
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Clasificar una superficie cuádrica e identificar su geometría para el modelado de componentes de ingeniería [Usar]
4.1.14. CAN/Ecuaciones Paramétricas y Coordenadas Polares (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba
Curvas paramétricas y coordenadas polares, usadas para describir trayectorias y geometrías en cinemática y diseño de ingeniería.
Temas:
Core
- Curvas paramétricas y su cálculo diferencial, aplicadas a trayectorias en cinemática
- Coordenadas polares y su conversión a coordenadas cartesianas
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Calcular la velocidad y aceleración de una trayectoria descrita paramétricamente [Usar]
- Convertir entre coordenadas polares y cartesianas al modelar geometrías de ingeniería [Usar]
4.1.15. CAN/Cálculo Multivariable y Vectorial (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba
Cálculo de funciones de varias variables, con énfasis en derivadas parciales, integrales múltiples y teoremas de campos vectoriales esenciales para el análisis de campos en ingeniería.
Temas:
Core
- Derivadas parciales y el vector gradiente
- Integrales múltiples en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas
- Campos vectoriales e integrales de línea y de superficie
- Teoremas integrales: Green, Stokes y Gauss-Ostrogradski
- Aplicaciones al flujo, circulación y campos conservativos en contextos de ingeniería
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Calcular gradientes y derivadas direccionales de campos escalares que describen magnitudes físicas [Usar]
- Evaluar integrales dobles y triples para calcular volúmenes, masas y centroides de objetos de ingeniería [Usar]
- Aplicar los teoremas de Stokes y de la Divergencia para relacionar integrales de campo en electromagnetismo y mecánica de fluidos [Evaluar]
- Determinar si un campo de fuerza vectorial es conservativo y calcular su función potencial [Evaluar]
4.1.16. CAN/Análisis Complejo y Transformaciones Conformes ↑ Volver arriba
Estudio de funciones de variable compleja, analiticidad, integración por contorno y transformaciones geométricas con aplicaciones a la teoría de potencial y al análisis de señales.
Temas:
Core
- Funciones holomorfas y ecuaciones de Cauchy-Riemann
- Integración por contorno y el Teorema del Residuo
- Transformaciones conformes y sus aplicaciones en flujo potencial y conducción de calor
- Conexión entre el análisis complejo y las transformadas de Laplace en el análisis de circuitos
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Evaluar integrales definidas reales mediante el Teorema del Residuo [Usar]
- Aplicar transformaciones conformes para transformar problemas de valores de frontera en el análisis de flujo potencial [Evaluar]
- Explicar las condiciones de analiticidad relevantes para la teoría de potencial en ingeniería [Familiarizarse]
- Determinar si una función compleja es analítica usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann [Usar]
4.1.17. CAN/Análisis Armónico y Series de Fourier ↑ Volver arriba
Representación de señales de ingeniería periódicas y aperiódicas como superposición de componentes sinusoidales mediante series y transformadas de Fourier.
Temas:
Core
- Series de Fourier para representación de funciones periódicas
- La transformada de Fourier y sus propiedades en el análisis de señales y sistemas
- Introducción a la teoría de wavelets para el análisis de señales no estacionarias en ingeniería
- Análisis espectral de señales de ingeniería y conceptos de filtrado en frecuencia
Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:
- Descomponer señales periódicas en sus componentes de Fourier e interpretar el espectro de frecuencia [Usar]
- Aplicar la transformada de Fourier para analizar sistemas de ingeniería lineales e invariantes en el tiempo [Usar]
- Diseñar filtros en el dominio de la frecuencia mediante análisis de Fourier para eliminar ruido de señales de ingeniería [Evaluar]
- Explicar las condiciones de convergencia de las series de Fourier y sus implicaciones prácticas en ingeniería [Familiarizarse]