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7.26. Cálculo IV (Obligatorio)

7.26.1. Justificación ↑ Volver arriba

Este curso cubre ecuaciones diferenciales ordinarias, una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales, y métodos asintóticos y de perturbación, extendiendo los fundamentos del cálculo multivariable construidos en cursos anteriores. Desarrolla las herramientas analíticas necesarias para modelar y resolver ecuaciones diferenciales que surgen en física e ingeniería, y para aproximar las soluciones de problemas que no pueden resolverse en forma cerrada.

7.26.2. Objetivos Generales ↑ Volver arriba

1. Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y modelar sistemas físicos con ellas.
2. Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden superior y sistemas de EDOs.
3. Clasificar y resolver ecuaciones diferenciales parciales elementales mediante separación de variables y métodos de Fourier.
4. Construir expansiones asintóticas y aplicar métodos de perturbación regular y singular para aproximar soluciones.

7.26.3. Contribución a los resultados (Outcomes) ↑ Volver arriba

ABET-1) Habilidad para identificar, formular y resolver problemas complejos de ingeniería aplicando principios de ingeniería, ciencias y matemáticas. (Familiarity)

7.26.4. Contenido ↑ Volver arriba

7.26.4.1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden (EDO) (30 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Boyce et al., 2017; Stewart, 2016)

Temas

1. Ecuaciones de primer orden: formas separables, lineales y exactas

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Resolver EDO lineales de primer orden usando factores integrantes [Usar]

7.26.4.2. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior y Sistemas (EDO) (20 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Boyce et al., 2017)

Temas

1. Ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes constantes
2. Sistemas de EDO lineales de primer orden y formulación en espacio de estados
3. Método de la transformada de Laplace para resolver EDO de ingeniería con condiciones iniciales
4. Modelado de sistemas masa-resorte-amortiguador, circuitos RLC y conducción de calor mediante EDO

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Aplicar el método de la transformada de Laplace para resolver EDO lineales de ingeniería con condiciones iniciales [Usar]
2. Modelar un oscilador mecánico amortiguado o un circuito RLC como una EDO lineal de segundo orden [Usar]
3. Analizar la estabilidad y la respuesta transitoria de sistemas de ingeniería descritos por sistemas de EDO [Evaluar]
4. Formular representaciones en espacio de estados para sistemas dinámicos de ingeniería con múltiples variables [Usar]

7.26.4.3. Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) (16 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Strauss, 2008; Stewart, 2016)

Temas

1. Separación de variables para ecuaciones de calor y de onda en geometrías de ingeniería
2. Métodos de la transformada de Laplace para problemas de valores iniciales y de frontera
3. Clasificación de EDP: tipos elíptico, parabólico e hiperbólico y su significado físico en ingeniería
4. Formulación e interpretación física de condiciones de frontera en problemas de ingeniería
5. Funciones de Green y problemas de valores de frontera para análisis avanzado en ingeniería

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Aplicar separación de variables para resolver las ecuaciones 1D de conducción de calor y de onda [Usar]
2. Clasificar una EDP dada y seleccionar el enfoque analítico o numérico apropiado para ingeniería [Evaluar]
3. Formular condiciones de frontera para un problema de transferencia de calor o análisis de tensiones [Evaluar]
4. Derivar la EDP gobernante para la conducción de calor en estado estacionario usando la Ley de Fourier [Usar]

7.26.4.4. Análisis Asintótico y Métodos de Perturbación (4 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Bender and Orszag, 1999)

Temas

1. Expansiones asintóticas y los símbolos de orden de Landau (\(O\), \(o\), \(\sim\))
2. Teoría de perturbación regular para ecuaciones algebraicas y EDOs
3. Teoría de perturbación singular y expansiones asintóticas acopladas (capas límite)
4. Método de escalas múltiples y la aproximación WKB

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Construir una expansión de perturbación regular para una EDO con un parámetro pequeño [Familiarizarse]
2. Aplicar expansiones asintóticas acopladas para resolver problemas de perturbación singular con capas límite [Usar]

7.26.5. Referencias Bibliográficas ↑ Volver arriba

Boyce, W. E., DiPrima, R. C., and Meade, D. B. (2017). Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera. Limusa Wiley, 11th edition.

Stewart, J. (2016). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. Cengage Learning, 8th edition.

Strauss, W. A. (2008). Partial Differential Equations: An Introduction. Wiley, 2nd edition.

Bender, C. M. and Orszag, S. A. (1999). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I: Asymptotic Methods and Perturbation Theory. Springer.