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4.3. Modelado Matemático y Simulación (MMS)

Esta área conecta las matemáticas teóricas con las aplicaciones reales de ingeniería. Se centra en la formulación, análisis y simulación de representaciones matemáticas de sistemas físicos usando ecuaciones diferenciales, teoría de sistemas dinámicos y teoría de control.

Área de Conocimiento (KA)	Core Tier1	Core Tier2
4.3.1 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden (EDO)	1	1
4.3.2 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior y Sistemas (EDO)	1	1
4.3.3 Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP)	1	1
4.3.4 Dinámica de Fluidos Matemática	1	1
4.3.5 Análisis Asintótico y Métodos de Perturbación	1	1
4.3.6 Sistemas Dinámicos y Teoría de Bifurcaciones	Electivo
4.3.7 Teoría de Control y Control Óptimo	Electivo

4.3.1. MMS/Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden (EDO)  (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba

Métodos para resolver y analizar ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, fundamentales para modelar sistemas simples de ingeniería.
Temas:
Core

• Ecuaciones de primer orden: formas separables, lineales y exactas

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Resolver EDO lineales de primer orden usando factores integrantes [Usar]

4.3.2. MMS/Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior y Sistemas (EDO)  (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba

Métodos para resolver y analizar ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, sistemas de EDO y la transformada de Laplace, fundamentales para sistemas mecánicos, eléctricos y térmicos en ingeniería.
Temas:
Core

• Ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes constantes
• Sistemas de EDO lineales de primer orden y formulación en espacio de estados
• Método de la transformada de Laplace para resolver EDO de ingeniería con condiciones iniciales
• Modelado de sistemas masa-resorte-amortiguador, circuitos RLC y conducción de calor mediante EDO

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Aplicar el método de la transformada de Laplace para resolver EDO lineales de ingeniería con condiciones iniciales [Usar]
2. Modelar un oscilador mecánico amortiguado o un circuito RLC como una EDO lineal de segundo orden [Usar]
3. Analizar la estabilidad y la respuesta transitoria de sistemas de ingeniería descritos por sistemas de EDO [Evaluar]
4. Formular representaciones en espacio de estados para sistemas dinámicos de ingeniería con múltiples variables [Usar]

4.3.3. MMS/Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP)  (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba

Ecuaciones con múltiples variables independientes, esenciales para describir transferencia de calor, vibración estructural, propagación de ondas y campos de potencial en ingeniería.
Temas:
Core

• Separación de variables para ecuaciones de calor y de onda en geometrías de ingeniería
• Métodos de la transformada de Laplace para problemas de valores iniciales y de frontera
• Clasificación de EDP: tipos elíptico, parabólico e hiperbólico y su significado físico en ingeniería
• Formulación e interpretación física de condiciones de frontera en problemas de ingeniería

Non Core

• Funciones de Green y problemas de valores de frontera para análisis avanzado en ingeniería

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Aplicar separación de variables para resolver las ecuaciones 1D de conducción de calor y de onda [Usar]
2. Clasificar una EDP dada y seleccionar el enfoque analítico o numérico apropiado para ingeniería [Evaluar]
3. Formular condiciones de frontera para un problema de transferencia de calor o análisis de tensiones [Evaluar]
4. Derivar la EDP gobernante para la conducción de calor en estado estacionario usando la Ley de Fourier [Usar]

4.3.4. MMS/Dinámica de Fluidos Matemática  (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba

Mecánica del continuo, ecuaciones de Euler y Navier-Stokes, vorticidad, flujo potencial y modelado de turbulencia.
Temas:
Non Core

• Hipótesis del continuo, derivada material y teorema del transporte de Reynolds
• Ecuaciones de Euler para flujo no viscoso: forma conservativa, vorticidad y flujo potencial
• Ecuaciones de Navier-Stokes: deducción, soluciones exactas y análisis dimensional
• Teoría de la capa límite: ecuaciones de Prandtl y solución de Blasius
• Turbulencia: promediado de Reynolds, modelo \(k\)-\(\varepsilon\) y simulación numérica directa

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
NonCore:

1. Derivar las ecuaciones de Navier-Stokes a partir de principios de conservación e identificar el significado físico de cada término [Familiarizarse]
2. Analizar flujos no viscosos usando las ecuaciones de Euler y aplicar el principio de Bernoulli [Usar]
3. Aplicar la teoría de la capa límite para estimar el arrastre sobre una placa plana y comparar con la solución de Blasius [Evaluar]

4.3.5. MMS/Análisis Asintótico y Métodos de Perturbación  (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba

Expansiones asintóticas, teoría de perturbación regular y singular, capas límite y escalas múltiples, para modelos de ingeniería con un parámetro pequeño.
Temas:
Non Core

• Expansiones asintóticas y los símbolos de orden de Landau (\(O\), \(o\), \(\sim\))
• Teoría de perturbación regular para ecuaciones algebraicas y EDOs
• Teoría de perturbación singular y expansiones asintóticas acopladas (capas límite)
• Método de escalas múltiples y la aproximación WKB

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
NonCore:

1. Construir una expansión de perturbación regular para una EDO con un parámetro pequeño [Familiarizarse]
2. Aplicar expansiones asintóticas acopladas para resolver problemas de perturbación singular con capas límite [Usar]

4.3.6. MMS/Sistemas Dinámicos y Teoría de Bifurcaciones ↑ Volver arriba

Comportamiento a largo plazo de sistemas de ingeniería modelados como ecuaciones diferenciales autónomas, con énfasis en estabilidad, ciclos límite y comportamiento dependiente de parámetros.
Temas:
Core

• Retratos de fase y linealización de sistemas de ingeniería no lineales
• Estabilidad de puntos de equilibrio mediante análisis de valores propios y métodos de Lyapunov
• Ciclos límite y oscilaciones autosostenidas en sistemas mecánicos y eléctricos

Non Core

• Análisis de bifurcaciones y sensibilidad paramétrica en sistemas de ingeniería

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Trazar retratos de fase para sistemas de ingeniería no lineales bidimensionales [Usar]
2. Clasificar la estabilidad de los puntos de equilibrio de un sistema de ingeniería linealizado [Evaluar]
3. Aplicar el método directo de Lyapunov para evaluar la estabilidad de un sistema de control no lineal [Usar]

NonCore:

1. Identificar puntos de bifurcación y predecir cambios de comportamiento bajo variación de parámetros de ingeniería [Evaluar]

4.3.7. MMS/Teoría de Control y Control Óptimo ↑ Volver arriba

Marco matemático para diseñar sistemas de retroalimentación que regulen el comportamiento dinámico de procesos y máquinas de ingeniería.
Temas:
Core

• Control por retroalimentación, controladores PID y análisis de estabilidad en lazo cerrado
• Funciones de transferencia, respuesta en frecuencia y diagramas de Bode
• Representación en espacio de estados, controlabilidad y observabilidad
• Técnica del lugar geométrico de las raíces y métodos de diseño en el dominio de la frecuencia

Non Core

• Principio del Máximo de Pontryagin para control óptimo en ingeniería

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Diseñar un controlador PID para una planta de ingeniería dada y evaluar la estabilidad en lazo cerrado [Usar]
2. Evaluar la controlabilidad y observabilidad de un modelo en espacio de estados [Evaluar]
3. Construir diagramas de Bode y aplicar criterios en el dominio de la frecuencia para la evaluación de estabilidad [Usar]
4. Analizar el lugar de las raíces de un sistema de retroalimentación para determinar la ganancia que produce la respuesta transitoria deseada [Evaluar]