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7.27. Estadística y Probabilidades (Obligatorio)

7.27.1. Justificación ↑ Volver arriba

La probabilidad y la estadística proporcionan la base matemática para razonar bajo incertidumbre, analizar datos y construir modelos predictivos — habilidades esenciales tanto en computación, inteligencia artificial, matemática computacional como en ingeniería. Este curso desarrolla una comprensión rigurosa de la teoría de la probabilidad y su uso para describir fenómenos aleatorios, junto con los fundamentos de la estadística descriptiva, la inferencia estadística (estimación, pruebas de hipótesis y razonamiento bayesiano) y el modelado de regresión, de modo que los estudiantes puedan resumir y analizar datos, cuantificar la incertidumbre y extraer conclusiones cuantitativas sólidas en su propio campo de aplicación.

7.27.2. Objetivos Generales ↑ Volver arriba

1. Comprender los fundamentos de la teoría de la probabilidad y la estadística descriptiva.
2. Aplicar distribuciones de probabilidad y métodos de inferencia estadística para analizar datos y cuantificar la incertidumbre.
3. Desarrollar habilidades para modelar fenómenos aleatorios y construir modelos estadísticos predictivos como la regresión lineal.

7.27.3. Contribución a los resultados (Outcomes) ↑ Volver arriba

ABET-1) Habilidad para identificar, formular y resolver problemas complejos de ingeniería aplicando principios de ingeniería, ciencias y matemáticas. (Familiarity)

7.27.4. Contenido ↑ Volver arriba

7.27.4.1. Resúmenes Numéricos: Posición, Dispersión y Forma (4 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Devore, 2016)

Temas

1. Medidas de posición: media, mediana, moda, media recortada y media ponderada
2. Medidas de dispersión: varianza, desviación estándar, RIQ, MAD y rango
3. Medidas de forma: asimetría y curtosis; cuantiles y percentiles
4. Estadísticas de resumen robustas: resistencia a valores atípicos y distribuciones de colas pesadas

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Calcular e interpretar medidas de posición, dispersión y forma para un conjunto de datos univariado [Usar]
2. Seleccionar estadísticas de resumen apropiadas según las propiedades distribucionales de los datos [Usar]
3. Comparar estadísticas de resumen clásicas y robustas y justificar la elección para un conjunto de datos dado [Evaluar]

7.27.4.2. Espacios Muestrales y Eventos (4 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Ross, 2014; Devore, 2016)

Temas

1. Experimentos aleatorios, resultados y espacios muestrales: finitos, contables e incontables
2. Operaciones de teoría de conjuntos sobre eventos: unión, intersección, complemento y leyes de De Morgan
3. Sigma-álgebras y espacios medibles como fundamento de la probabilidad rigurosa
4. Conjuntos de Borel y la sigma-álgebra de Borel sobre la recta real

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Definir espacios muestrales, eventos y sigma-álgebras para un experimento aleatorio dado [Familiarizarse]
2. Aplicar operaciones de teoría de conjuntos para calcular probabilidades de eventos compuestos [Usar]
3. Construir sigma-álgebras apropiadas para espacios medibles que surgen en problemas estadísticos [Evaluar]

7.27.4.3. Axiomas y Propiedades de la Probabilidad (4 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Ross, 2014; Devore, 2016)

Temas

1. Los tres axiomas de probabilidad de Kolmogorov y sus consecuencias
2. Propiedades derivadas: regla del complemento, regla de la adición, monotonicidad y continuidad de la probabilidad
3. Interpretaciones clásica, frecuentista y subjetiva (bayesiana) de la probabilidad
4. Métodos de conteo: permutaciones, combinaciones y el principio de multiplicación

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Enunciar los axiomas de Kolmogorov y derivar propiedades fundamentales de la probabilidad [Familiarizarse]
2. Calcular probabilidades de eventos utilizando la regla de la adición y la regla del complemento [Usar]
3. Aplicar métodos de conteo para calcular probabilidades en espacios muestrales finitos [Usar]

7.27.4.4. Probabilidad Condicional e Independencia (4 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Ross, 2014; Devore, 2016)

Temas

1. Definición e interpretación de la probabilidad condicional P(A|B) y sus propiedades
2. Teorema de Bayes y ley de la probabilidad total: derivación y aplicaciones
3. Independencia de eventos: independencia por pares e independencia mutua
4. Independencia condicional y su papel en los modelos gráficos probabilísticos

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Explicar la probabilidad condicional y la independencia y su relación [Familiarizarse]
2. Aplicar el teorema de Bayes y la ley de la probabilidad total para resolver problemas de probabilidad [Usar]
3. Analizar si los eventos son independientes o condicionalmente independientes en un modelo de probabilidad dado [Evaluar]

7.27.4.5. Variables Aleatorias Discretas y Distribuciones (4 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Ross, 2014; Devore, 2016)

Temas

1. Funciones de masa de probabilidad (FMP) y funciones de distribución acumulada (FDA) para variables aleatorias discretas
2. Distribuciones discretas clave: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Binomial Negativa, Poisson, Hipergeométrica
3. Propiedades de las distribuciones discretas: media, varianza, asimetría y curtosis
4. Aproximación de Poisson a la Binomial y argumentos de distribución límite

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Identificar y describir las principales distribuciones de probabilidad discretas y sus parámetros [Familiarizarse]
2. Calcular probabilidades, medias y varianzas utilizando las FMP de distribuciones discretas estándar [Usar]
3. Seleccionar una distribución discreta apropiada para modelar un fenómeno aleatorio dado y justificar la elección [Evaluar]

7.27.4.6. Variables Aleatorias Continuas y Distribuciones (4 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Ross, 2014; Devore, 2016)

Temas

1. Funciones de densidad de probabilidad (FDP) y FDA para variables aleatorias continuas
2. Distribuciones continuas clave: Uniforme, Normal, Exponencial, Gamma, Beta, Chi-cuadrado, t, F
3. La distribución Normal: propiedades, normal estándar y su papel central en la inferencia estadística
4. La familia exponencial de distribuciones: forma canónica y estadísticos suficientes

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Describir las propiedades y parámetros de las principales distribuciones de probabilidad continuas [Familiarizarse]
2. Calcular probabilidades y cuantiles para distribuciones continuas estándar [Usar]
3. Identificar distribuciones pertenecientes a la familia exponencial y derivar sus estadísticos suficientes [Evaluar]

7.27.4.7. Distribuciones Conjuntas, Marginales y Condicionales (4 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Ross, 2014; Devore, 2016)

Temas

1. FMP y FDP conjuntas para dos o más variables aleatorias
2. Distribuciones marginales y condicionales derivadas de distribuciones conjuntas
3. Covarianza, correlación y sus propiedades; la independencia implica covarianza cero (el recíproco no siempre es cierto)
4. La distribución normal bivariada y sus distribuciones condicionales

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Derivar distribuciones marginales y condicionales a partir de una distribución conjunta dada [Usar]
2. Calcular la covarianza y correlación entre dos variables aleatorias [Usar]
3. Analizar la estructura condicional de la distribución normal bivariada [Evaluar]

7.27.4.8. Teoremas Límite: LGN y TCL (4 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Ross, 2014; Devore, 2016)

Temas

1. Ley débil de los grandes números: convergencia en probabilidad y sus implicaciones para la estimación
2. Teorema central del límite: enunciado, condiciones y papel en la justificación de aproximaciones normales
3. Aplicaciones del TCL: aproximación normal a la binomial y distribuciones muestrales
4. Ley fuerte de los grandes números: convergencia casi segura
5. El método delta: distribución asintótica de funciones suaves de estimadores

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Enunciar la LGN y el TCL y explicar las condiciones bajo las cuales se cumplen [Familiarizarse]
2. Aplicar el TCL para derivar aproximaciones normales y distribuciones muestrales [Usar]
3. Aplicar el método delta para derivar distribuciones asintóticas de estimadores no lineales [Evaluar]

7.27.4.9. Estimación Puntual (4 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Devore, 2016)

Temas

1. Propiedades deseables: insesgamiento, consistencia, eficiencia y suficiencia
2. Estimación por método de momentos: derivación y propiedades asintóticas
3. Estimación de máxima verosimilitud: derivación, propiedades y principio de invarianza
4. Cota inferior de Cramér-Rao y el concepto de información de Fisher

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Describir las propiedades clave de los estimadores y explicar las concesiones entre ellas [Familiarizarse]
2. Derivar estimadores por método de momentos y de máxima verosimilitud para distribuciones estándar [Usar]
3. Evaluar la eficiencia de un estimador usando la cota inferior de Cramér-Rao [Evaluar]

7.27.4.10. Estimación por Intervalos e Intervalos de Confianza (4 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Devore, 2016)

Temas

1. Construcción de intervalos de confianza mediante cantidades pivote y distribuciones exactas
2. Interpretación correcta de los intervalos de confianza: probabilidad de cobertura y errores conceptuales comunes
3. Intervalos de confianza para muestras grandes basados en normalidad asintótica
4. Dualidad entre intervalos de confianza y pruebas de hipótesis

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Construir intervalos de confianza para medias, proporciones y varianzas usando métodos exactos y de gran muestra [Usar]
2. Interpretar correctamente los intervalos de confianza e identificar interpretaciones erróneas comunes [Usar]
3. Explicar la dualidad entre intervalos de confianza y pruebas de hipótesis y utilizarla para extraer inferencias [Evaluar]

7.27.4.11. Fundamentos de las Pruebas de Hipótesis (4 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Devore, 2016)

Temas

1. Marco de Neyman-Pearson: hipótesis nula y alternativa, regiones de rechazo, errores tipo I y II
2. Valores p: definición, interpretación correcta y usos incorrectos comunes; potencia y tamaño de muestra
3. Pruebas paramétricas comunes: prueba z, prueba t, prueba F y prueba ji-cuadrada
4. Lema de Neyman-Pearson y pruebas uniformemente más poderosas

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Explicar la lógica de las pruebas de hipótesis, los errores tipo I y II y el significado de un valor p [Familiarizarse]
2. Aplicar pruebas paramétricas estándar e interpretar los resultados en contexto [Usar]
3. Derivar la prueba más poderosa para una hipótesis simple usando el lema de Neyman-Pearson [Evaluar]

7.27.4.12. Inferencia Bayesiana (4 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Ross, 2014; Devore, 2016)

Temas

1. Marco bayesiano: a priori, verosimilitud, a posteriori y el papel del teorema de Bayes
2. Distribuciones a priori: informativas, no informativas y conjugadas
3. Inferencia a posteriori: estimaciones puntuales, intervalos de credibilidad y distribuciones predictivas a posteriori
4. Comparación de modelos bayesianos: factores de Bayes y probabilidades a posteriori de modelos

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Explicar el enfoque bayesiano de la inferencia y contrastarlo con el enfoque frecuentista [Familiarizarse]
2. Derivar la distribución a posteriori para modelos conjugados estándar [Usar]
3. Aplicar factores de Bayes para comparar modelos estadísticos e interpretar la evidencia [Evaluar]

7.27.4.13. Regresión Lineal Simple (4 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Devore, 2016)

Temas

1. Estimación por mínimos cuadrados ordinarios (MCO): derivación de coeficientes y sus propiedades
2. Inferencia sobre coeficientes de regresión: pruebas t, intervalos de confianza y valores p
3. Coeficiente de determinación R-cuadrado y descomposición de la varianza mediante análisis de varianza
4. Teorema de Gauss-Markov: propiedad MELI del MCO bajo supuestos clásicos

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Ajustar un modelo de regresión lineal simple e interpretar los coeficientes estimados [Usar]
2. Realizar pruebas de hipótesis y construir intervalos de confianza para parámetros de regresión [Usar]
3. Verificar los supuestos de Gauss-Markov y evaluar las consecuencias cuando se violan [Evaluar]

7.27.5. Referencias Bibliográficas ↑ Volver arriba

Devore, J. L. (2016). Probability and Statistics for Engineering and the Sciences. Cengage Learning.

Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability. Pearson.