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4.5. Análisis Numérico y Científico (NSA)

Esta área se centra en los algoritmos computacionales para obtener soluciones numéricas a problemas matemáticos de ingeniería. Cubre análisis de errores, álgebra lineal numérica y métodos para resolver ecuaciones diferenciales mediante discretización.

Área de Conocimiento (KA)	Core Tier1	Core Tier2
4.5.1 Análisis de Errores y Aritmética de Punto Flotante	1	1
4.5.2 álgebra Lineal Numérica	1	1
4.5.3 Solución Numérica de Ecuaciones no Lineales	1	1
4.5.4 Teoría de Aproximación e Interpolación	1	1
4.5.5 Integración Numérica y Cuadratura	1	1
4.5.6 Métodos Numéricos para EDO y EDP	1	1
4.5.7 Método de Elementos Finitos	1	1
4.5.8 Algoritmos de Optimización	1	1
4.5.9 Computación Paralela y de Alto Rendimiento	1	1

4.5.1. NSA/Análisis de Errores y Aritmética de Punto Flotante  (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba

Estudio del origen y propagación de errores numéricos en computaciones de ingeniería, y estrategias para controlarlos.
Temas:
Core

• Representación en punto flotante y errores de redondeo en software de ingeniería
• Condicionamiento de problemas de ingeniería y estabilidad de algoritmos numéricos
• Error de truncamiento en aproximaciones en serie y en esquemas de diferencias finitas
• Propagación de errores a través de cadenas de cálculos en simulaciones de ingeniería

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Explicar las fuentes y consecuencias de los errores de redondeo y truncamiento en computaciones de ingeniería [Familiarizarse]
2. Calcular el número de condición de un sistema lineal e interpretar su efecto sobre la precisión de la solución [Evaluar]
3. Estimar la propagación de incertidumbres de medición a través de una cadena de cálculos de ingeniería [Usar]
4. Seleccionar métodos numéricos con propiedades de estabilidad adecuadas para los requerimientos de simulación en ingeniería [Evaluar]

4.5.2. NSA/álgebra Lineal Numérica  (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba

Algoritmos numéricos eficientes para resolver grandes sistemas lineales y problemas de valores propios en ingeniería estructural, de fluidos y electromagnética.
Temas:
Core

• Factorizaciones LU y QR para resolver sistemas lineales de ingeniería
• Solvers iterativos: Jacobi, Gauss-Seidel y Gradiente Conjugado para sistemas dispersos de gran escala
• Descomposición en Valores Singulares (SVD) para ajuste de datos y reducción de modelos
• Formatos de almacenamiento de matrices dispersas y solvers eficientes para sistemas FEM/FVM de ingeniería

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Resolver sistemas lineales de ingeniería usando descomposición LU con pivoteo parcial [Usar]
2. Analizar la tasa de convergencia de solvers iterativos aplicados a matrices de rigidez de ingeniería [Evaluar]
3. Implementar un solver de Gradiente Conjugado para un sistema de ingeniería simétrico y definido positivo de gran escala [Usar]
4. Aplicar SVD para comprimir un conjunto de formas modales estructurales y evaluar la calidad de la aproximación [Evaluar]

4.5.3. NSA/Solución Numérica de Ecuaciones no Lineales  (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba

Métodos iterativos para aproximar raíces de ecuaciones no lineales de ingeniería y análisis de su convergencia.
Temas:
Core

• Métodos de acotamiento: bisección y falsa posición
• Método de Newton-Raphson y método de la secante
• Orden de convergencia y criterios de parada en métodos iterativos

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Explicar el fundamento y las garantías de convergencia de los métodos de bisección y falsa posición [Familiarizarse]
2. Aplicar el método de Newton-Raphson y el método de la secante para aproximar raíces de ecuaciones de ingeniería [Usar]
3. Comparar el orden de convergencia de distintos métodos iterativos y seleccionar el más apropiado según el problema [Evaluar]

4.5.4. NSA/Teoría de Aproximación e Interpolación  (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba

Interpolación polinomial y por splines, mejor aproximación, polinomios de Chebyshev y aproximación racional.
Temas:
Core

• Interpolación polinomial: Lagrange, diferencias divididas de Newton y fenómeno de Runge
• Interpolación por splines: splines cúbicos, B-splines y métodos de funciones polinómicas a trozos
• Mejor aproximación en espacios normados: Chebyshev (minimax) y mínimos cuadrados
• Polinomios de Chebyshev: propiedades, ortogonalidad y convergencia espectral
• Aproximación trigonométrica y transformada rápida de Fourier (FFT)

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Explicar el fenómeno de Runge y justificar la elección de nodos de Chebyshev para mitigarlo [Familiarizarse]
2. Construir interpolantes por splines cúbicos y de Chebyshev para datos dados y estimar el error de interpolación [Usar]
3. Aplicar la FFT para calcular eficientemente aproximaciones trigonométricas de una función muestreada [Evaluar]

4.5.5. NSA/Integración Numérica y Cuadratura  (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba

Reglas de cuadratura, integración adaptativa, cuadratura gaussiana e integración multidimensional.
Temas:
Core

• Reglas de Newton-Cotes: trapezoidal, Simpson y reglas compuestas; análisis de error
• Cuadratura adaptativa y control automático del error
• Cuadratura gaussiana: nodos y pesos óptimos, conexión con polinomios ortogonales
• Tratamiento numérico de integrales impropias y singulares
• Integración de Monte Carlo y métodos cuasi-Monte Carlo para integrales de alta dimensión

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Derivar la fórmula de error para la regla compuesta de Simpson e identificar su orden de precisión [Familiarizarse]
2. Seleccionar y aplicar una regla de cuadratura apropiada (Gaussiana, adaptativa) según la regularidad del integrando [Usar]
3. Aplicar integración de Monte Carlo para estimar integrales de alta dimensión y cuantificar el error estadístico [Evaluar]

4.5.6. NSA/Métodos Numéricos para EDO y EDP  (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba

Solución de ecuaciones diferenciales que gobiernan sistemas de ingeniería mediante métodos de avance temporal y discretización espacial.
Temas:
Core

• Métodos de Runge-Kutta y paso adaptativo para problemas de EDO en ingeniería
• Análisis de estabilidad y rigidez en integradores numéricos de EDO de ingeniería
• Discretización por diferencias finitas de EDP de ingeniería (ecuación de calor, ecuación de Laplace)

Non Core

• Elementos finitos y métodos de disparo para problemas de valores de frontera en ingeniería

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Implementar un integrador Runge-Kutta de cuarto orden para un problema de vibración mecánica [Usar]
2. Determinar la región de estabilidad absoluta de un esquema explícito de avance temporal [Evaluar]
3. Discretizar la ecuación de calor 2D usando diferencias finitas y plantear el sistema lineal resultante [Usar]

NonCore:

1. Comparar los enfoques de diferencias finitas y elementos finitos para resolver una EDP de ingeniería [Evaluar]

4.5.7. NSA/Método de Elementos Finitos  (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba

Formulación variacional, métodos de Galerkin, espacios de elementos finitos, estimaciones de error y aplicaciones a EDPs elípticas.
Temas:
Core

• Formulación débil (variacional) de problemas de valor en la frontera y espacios de Sobolev
• Método de Galerkin: espacios de aproximación de dimensión finita y matriz de rigidez
• Espacios de elementos finitos triangulares y cuadriláteros: elementos de Lagrange y conformidad
• Estimaciones de error a priori: lema de Céa y cotas de error de interpolación

Non Core

• Estimaciones de error a posteriori y refinamiento adaptativo de malla

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Derivar la formulación débil de un PVE elíptico y mostrar su equivalencia con la forma fuerte [Familiarizarse]
2. Ensamblar la matriz de rigidez global y el vector de carga para una discretización lineal por elementos finitos [Usar]
3. Estimar el error en \(H^1\) de una solución por elementos finitos usando el lema de Céa y la teoría de interpolación [Evaluar]

4.5.8. NSA/Algoritmos de Optimización  (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba

Métodos de gradiente, métodos de Newton y cuasi-Newton, optimización con restricciones y algoritmos de optimización convexa.
Temas:
Core

• Descenso por gradiente y métodos de búsqueda lineal: condiciones de Armijo-Wolfe y tasas de convergencia
• Método de Newton y métodos cuasi-Newton (BFGS, L-BFGS)
• Optimización con restricciones: condiciones KKT, métodos de penalización y programación cuadrática secuencial
• Algoritmos de optimización convexa: métodos de punto interior y método de multiplicadores de dirección alterna (ADMM)
• Descenso de gradiente estocástico (SGD), reducción de varianza y optimizador Adam

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Explicar las garantías de convergencia del descenso por gradiente para funciones convexas suaves [Familiarizarse]
2. Aplicar los métodos de Newton y cuasi-Newton a problemas de optimización sin restricciones [Usar]
3. Formular un problema de optimización con restricciones como un sistema KKT y aplicar un método de punto interior [Evaluar]

4.5.9. NSA/Computación Paralela y de Alto Rendimiento  (Core Tier1: 1 hr, Core Tier2: 1 hr) ↑ Volver arriba

Arquitecturas paralelas, modelos de rendimiento, algoritmos paralelos para álgebra lineal y computación con GPUs.
Temas:
Core

• Arquitecturas paralelas: memoria compartida (OpenMP), memoria distribuida (MPI) y GPU (CUDA)
• Modelos de rendimiento: ley de Amdahl, modelo de línea techada y complejidad de comunicación
• Algoritmos paralelos para álgebra lineal densa y dispersa (ScaLAPACK, PETSc)
• Descomposición de dominio y solucionadores paralelos de EDPs

Non Core

• Diferenciación automática (modo directo y reverso) y su rol en ML científico

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes):
Core:

1. Explicar la ley de Amdahl e identificar los cuellos de botella que limitan la aceleración paralela en un algoritmo dado [Familiarizarse]
2. Implementar una rutina paralela de álgebra lineal usando MPI o OpenMP y medir la eficiencia paralela [Usar]

NonCore:

1. Aplicar diferenciación automática para calcular gradientes de funciones científicas complejas con fines de optimización [Evaluar]