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7.12. Cálculo II (Obligatorio)

7.12.1. Justificación ↑ Volver arriba

Este curso cubre el cálculo integral para funciones de una variable y los fundamentos geométricos necesarios para el cálculo multivariable. Enfatiza la acumulación de cantidades y la relación inversa entre diferenciación e integración, proporciona herramientas para calcular áreas, volúmenes, longitud de arco y trabajo, e introduce vectores y la geometría del espacio tridimensional, superficies cuádricas, ecuaciones paramétricas, coordenadas polares y funciones vectoriales de una variable real.

7.12.2. Objetivos Generales ↑ Volver arriba

1. Comprender la integral definida como un límite de sumas de Riemann y dominar las técnicas de integración, las integrales impropias y las series infinitas.
2. Aplicar la integral definida para calcular áreas, volúmenes de revolución, longitud de arco, área de superficie, trabajo y centroides.
3. Operar con vectores en el espacio tridimensional y utilizarlos para determinar rectas y planos.
4. Clasificar superficies cuádricas a partir de su ecuación general.
5. Analizar curvas descritas paramétricamente y en coordenadas polares, incluyendo su cálculo diferencial e integral y el cálculo de áreas.
6. Describir curvas en el espacio como funciones vectoriales y calcular su longitud de arco, curvatura y torsión.

7.12.3. Contribución a los resultados (Outcomes) ↑ Volver arriba

ABET-1) Habilidad para identificar, formular y resolver problemas complejos de ingeniería aplicando principios de ingeniería, ciencias y matemáticas. (Familiarity)

7.12.4. Contenido ↑ Volver arriba

7.12.4.1. Cálculo Integral (14 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Stewart, 2016; Larson and Edwards, 2018; Thomas et al., 2014)

Temas

1. El Teorema Fundamental del Cálculo
2. Técnicas de integración: sustitución, integración por partes y fracciones parciales
3. Aplicaciones de ingeniería de la integración: áreas, volúmenes, centroides y momentos de inercia

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Enunciar y explicar el Teorema Fundamental del Cálculo y sus implicaciones en ingeniería [Familiarizarse]
2. Calcular integrales definidas en problemas de ingeniería como trabajo, presión de fluidos y transferencia de calor [Usar]

7.12.4.2. Integrales Impropias (6 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Stewart, 2016; Larson and Edwards, 2018; Thomas et al., 2014)

Temas

1. Integrales impropias sobre intervalos no acotados
2. Integrales impropias de integrandos no acotados (discontinuos)
3. Criterios de convergencia y pruebas de comparación para integrales impropias

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Determinar si una integral impropia proveniente de un modelo de ingeniería converge, usando criterios de comparación y otras pruebas de convergencia [Evaluar]
2. Evaluar una integral impropia tomando el límite apropiado, cuando esta converge [Usar]

7.12.4.3. Sucesiones, Series y Series de Potencias (14 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Stewart, 2016; Larson and Edwards, 2018; Thomas et al., 2014)

Temas

1. Sucesiones y series: criterios de convergencia (razón, raíz, comparación, integral)
2. Series de potencias, radio de convergencia y series de Taylor/Maclaurin
3. Uso en ingeniería de polinomios de Taylor para linealización y aproximación numérica

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Determinar la convergencia de una serie de potencias y construir una serie de Taylor para una función de ingeniería estándar [Evaluar]
2. Aplicar un polinomio de Taylor para aproximar o linealizar una función de ingeniería [Usar]

7.12.4.4. Aplicaciones de la Integral Definida (16 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Stewart, 2016; Thomas et al., 2014)

Temas

1. Área entre curvas integrando respecto a \(x\) o \(y\)
2. Volumen de sólidos de revolución por el método del disco y la arandela
3. Volumen de sólidos de revolución por el método de capas cilíndricas
4. Trabajo mediante integración (resortes, bombeo de fluidos, cables)
5. Momentos y centroide de una región plana o sólido

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Calcular el volumen de un sólido de revolución usando el método del disco, la arandela o las capas cilíndricas [Usar]
2. Calcular el trabajo realizado por una fuerza variable mediante integración [Usar]

7.12.4.5. Geometría en el Espacio (6 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Stewart, 2016; Larson and Edwards, 2018)

Temas

1. Producto punto y producto cruz: definición, propiedades e interpretación geométrica
2. Ecuaciones de rectas y planos en el espacio

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Calcular el producto punto y el producto cruz de vectores para resolver problemas de fuerzas y momentos en ingeniería [Usar]
2. Determinar ecuaciones de rectas y planos en el espacio a partir de datos geométricos de un problema de ingeniería [Usar]

7.12.4.6. Superficies Cuádricas (6 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Stewart, 2016; Larson and Edwards, 2018)

Temas

1. Clasificación de cuádricas (elipsoides, paraboloides, hiperboloides) a partir de su ecuación general

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Clasificar una superficie cuádrica e identificar su geometría para el modelado de componentes de ingeniería [Usar]

7.12.4.7. Ecuaciones Paramétricas y Coordenadas Polares (12 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Stewart, 2016; Thomas et al., 2014)

Temas

1. Curvas paramétricas y su cálculo diferencial, aplicadas a trayectorias en cinemática
2. Coordenadas polares y su conversión a coordenadas cartesianas

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Calcular la velocidad y aceleración de una trayectoria descrita paramétricamente [Usar]
2. Convertir entre coordenadas polares y cartesianas al modelar geometrías de ingeniería [Usar]

7.12.4.8. Funciones Vectoriales de una Variable Real (10 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Stewart, 2016; Thomas et al., 2014)

Temas

1. Definición, dominio y rango de funciones vectoriales de una variable real
2. Límites, continuidad y derivadas de funciones vectoriales
3. Longitud de arco y parametrización natural de una curva
4. Vectores tangente, normal y binormal; triedro móvil de Frenet
5. Curvatura, torsión y fórmulas de Frenet-Serret

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Identificar límites, continuidad y derivadas de funciones vectoriales de una variable real [Familiarizarse]
2. Calcular vectores tangente, normal y binormal y reparametrizar una curva por longitud de arco [Usar]
3. Calcular curvatura y torsión usando las fórmulas de Frenet-Serret [Evaluar]

7.12.5. Referencias Bibliográficas ↑ Volver arriba

Stewart, J. (2016). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. Cengage Learning, 8th edition.

Larson, R. and Edwards, B. H. (2018). Cálculo. Cengage Learning, 10th edition.

Thomas, G. B., Weir, M. D., and Hass, J. (2014). Cálculo de una variable. Pearson, 13th edition.