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7.19. Cálculo III (Obligatorio)

7.19.1. Justificación ↑ Volver arriba

Este curso continúa el estudio del cálculo con funciones de varias variables, integrando conceptos de cálculo vectorial, derivadas parciales, integrales múltiples y aplicaciones geométricas y físicas, incluyendo integrales de línea y de superficie. Desarrolla habilidades para modelar y resolver problemas en tres dimensiones e introduce ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, proporcionando los fundamentos para áreas avanzadas como el análisis matemático, la física y la ingeniería.

7.19.2. Objetivos Generales ↑ Volver arriba

1. Comprender funciones de varias variables y sus derivadas parciales.
2. Aplicar el cálculo diferencial e integral en tres dimensiones.
3. Resolver problemas de optimización con múltiples variables.
4. Dominar las integrales múltiples, de línea y de superficie, y sus aplicaciones.
5. Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y modelar sistemas físicos simples con ellas.

7.19.3. Contribución a los resultados (Outcomes) ↑ Volver arriba

ABET-1) Habilidad para identificar, formular y resolver problemas complejos de ingeniería aplicando principios de ingeniería, ciencias y matemáticas. (Familiarity)

7.19.4. Contenido ↑ Volver arriba

7.19.4.1. Cálculo Multivariable y Vectorial (22 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Stewart, 2016; Thomas et al., 2014)

Temas

1. Derivadas parciales y el vector gradiente
2. Integrales múltiples en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas
3. Campos vectoriales e integrales de línea y de superficie
4. Teoremas integrales: Green, Stokes y Gauss-Ostrogradski
5. Aplicaciones al flujo, circulación y campos conservativos en contextos de ingeniería

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Calcular gradientes y derivadas direccionales de campos escalares que describen magnitudes físicas [Usar]
2. Evaluar integrales dobles y triples para calcular volúmenes, masas y centroides de objetos de ingeniería [Usar]
3. Aplicar los teoremas de Stokes y de la Divergencia para relacionar integrales de campo en electromagnetismo y mecánica de fluidos [Evaluar]
4. Determinar si un campo de fuerza vectorial es conservativo y calcular su función potencial [Evaluar]

7.19.4.2. Integrales Múltiples (12 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Stewart, 2016; Larson and Edwards, 2018)

Temas

1. Integrales dobles sobre rectángulos y regiones generales; integrales iteradas (teorema de Fubini)
2. Integrales dobles en coordenadas polares y fórmula de cambio de variable
3. Integrales triples en coordenadas cartesianas y aplicaciones a volumen y masa
4. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
5. Aplicaciones: área, volumen, centros de masa y momentos de inercia

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Evaluar integrales dobles y triples sobre regiones generales usando integrales iteradas [Usar]
2. Aplicar cambios de coordenadas en sistemas polares, cilíndricos y esféricos para simplificar integrales múltiples [Usar]
3. Calcular áreas, volúmenes y centros de masa usando integrales múltiples [Evaluar]

7.19.4.3. Integrales de Línea y Campos Vectoriales (18 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Marsden and Tromba, 2003; Stewart, 2016)

Temas

1. Campos vectoriales: definición, visualización, divergencia y rotacional
2. Integrales de línea de funciones escalares: longitud de arco y masa
3. Integrales de línea de campos vectoriales: trabajo y circulación
4. Campos conservativos, funciones potencial e independencia de la trayectoria
5. Teorema de Green y sus aplicaciones en el plano

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Calcular integrales de línea escalares y vectoriales sobre curvas orientadas [Usar]
2. Determinar si un campo vectorial es conservativo y construir su función potencial [Usar]
3. Aplicar el Teorema de Green para evaluar integrales de línea mediante integrales dobles [Evaluar]

7.19.4.4. Integrales de Superficie y Teoremas Fundamentales (16 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Marsden and Tromba, 2003; Apostol, 1969)

Temas

1. Superficies paramétricas, plano tangente y área de superficie
2. Integrales de superficie de funciones escalares
3. Integrales de flujo: integrales de superficie de campos vectoriales
4. Teorema de Stokes: relación entre integrales de línea e integrales de superficie
5. Teorema de la Divergencia (Gauss): relación entre flujo e integral de volumen

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Parametrizar superficies y evaluar integrales de superficie escalares y de flujo [Usar]
2. Aplicar los Teoremas de Stokes y de la Divergencia para reducir integrales complejas [Evaluar]
3. Relacionar propiedades diferenciales locales (rotacional, divergencia) con el comportamiento global mediante teoremas integrales [Evaluar]

7.19.4.5. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden (EDO) (16 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Boyce et al., 2017; Stewart, 2016)

Temas

1. Ecuaciones de primer orden: formas separables, lineales y exactas

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Resolver EDO lineales de primer orden usando factores integrantes [Usar]

7.19.5. Referencias Bibliográficas ↑ Volver arriba

Stewart, J. (2016). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. Cengage Learning, 8th edition.

Thomas, G. B., Weir, M. D., and Hass, J. (2014). Cálculo de una variable. Pearson, 13th edition.

Larson, R. and Edwards, B. H. (2018). Cálculo. Cengage Learning, 10th edition.

Marsden, J. E. and Tromba, A. J. (2003). Cálculo Vectorial. Pearson, 5th edition.

Apostol, T. M. (1969). Calculus, Volume II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra. Wiley, 2nd edition.

Boyce, W. E., DiPrima, R. C., and Meade, D. B. (2017). Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera. Limusa Wiley, 11th edition.