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7.25. Métodos Numéricos (Obligatorio)

7.25.1. Justificación ↑ Volver arriba

Los métodos numéricos son una herramienta fundamental compartida por la informática y las disciplinas de ingeniería para aproximar soluciones a problemas matemáticos que no pueden resolverse analíticamente. Este curso proporciona una introducción a los métodos numéricos más comunes, incluyendo el análisis de errores, la solución de ecuaciones no lineales, la interpolación, la integración numérica y la solución de ecuaciones diferenciales, en contextos científicos y de ingeniería.

7.25.2. Objetivos Generales ↑ Volver arriba

1. Comprender la importancia de los métodos numéricos en la resolución de problemas científicos y de ingeniería.
2. Aplicar diferentes métodos numéricos para aproximar soluciones a problemas matemáticos.
3. Analizar la precisión y eficiencia de los métodos numéricos utilizados.

7.25.3. Contribución a los resultados (Outcomes) ↑ Volver arriba

ABET-1) Habilidad para identificar, formular y resolver problemas complejos de ingeniería aplicando principios de ingeniería, ciencias y matemáticas. (Usage)

ABET-6) Habilidad para desarrollar y conducir experimentación apropiada, analizar e interpretar datos, y utilizar el criterio de ingeniería para obtener conclusiones. (Usage)

ABET-2) Habilidad para aplicar el diseño en ingeniería y producir soluciones que satisfagan necesidades específicas considerando la salud pública, seguridad y bienestar, así como factores globales, culturales, sociales, ambientales y económicos. (Usage)

7.25.4. Contenido ↑ Volver arriba

7.25.4.1. Análisis de Errores y Aritmética de Punto Flotante (6 horas) [Habilidades ABET-1,ABET-6] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Chapra and Canale, 2015a; Burden and Faires, 2010)

Temas

1. Representación en punto flotante y errores de redondeo en software de ingeniería
2. Condicionamiento de problemas de ingeniería y estabilidad de algoritmos numéricos
3. Error de truncamiento en aproximaciones en serie y en esquemas de diferencias finitas
4. Propagación de errores a través de cadenas de cálculos en simulaciones de ingeniería

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Explicar las fuentes y consecuencias de los errores de redondeo y truncamiento en computaciones de ingeniería [Familiarizarse]
2. Calcular el número de condición de un sistema lineal e interpretar su efecto sobre la precisión de la solución [Evaluar]
3. Estimar la propagación de incertidumbres de medición a través de una cadena de cálculos de ingeniería [Usar]
4. Seleccionar métodos numéricos con propiedades de estabilidad adecuadas para los requerimientos de simulación en ingeniería [Evaluar]

7.25.4.2. Solución Numérica de Ecuaciones no Lineales (10 horas) [Habilidades ABET-1,ABET-6] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Chapra and Canale, 2015a; Burden and Faires, 2010)

Temas

1. Métodos de acotamiento: bisección y falsa posición
2. Método de Newton-Raphson y método de la secante
3. Orden de convergencia y criterios de parada en métodos iterativos

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Explicar el fundamento y las garantías de convergencia de los métodos de bisección y falsa posición [Familiarizarse]
2. Aplicar el método de Newton-Raphson y el método de la secante para aproximar raíces de ecuaciones de ingeniería [Usar]
3. Comparar el orden de convergencia de distintos métodos iterativos y seleccionar el más apropiado según el problema [Evaluar]

7.25.4.3. Teoría de Aproximación e Interpolación (10 horas) [Habilidades ABET-1,ABET-6] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Chapra and Canale, 2015a; Burden and Faires, 2010)

Temas

1. Interpolación polinomial: Lagrange, diferencias divididas de Newton y fenómeno de Runge
2. Interpolación por splines: splines cúbicos, B-splines y métodos de funciones polinómicas a trozos
3. Mejor aproximación en espacios normados: Chebyshev (minimax) y mínimos cuadrados
4. Polinomios de Chebyshev: propiedades, ortogonalidad y convergencia espectral
5. Aproximación trigonométrica y transformada rápida de Fourier (FFT)

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Explicar el fenómeno de Runge y justificar la elección de nodos de Chebyshev para mitigarlo [Familiarizarse]
2. Construir interpolantes por splines cúbicos y de Chebyshev para datos dados y estimar el error de interpolación [Usar]
3. Aplicar la FFT para calcular eficientemente aproximaciones trigonométricas de una función muestreada [Evaluar]

7.25.4.4. Integración Numérica y Cuadratura (10 horas) [Habilidades ABET-1,ABET-6] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Chapra and Canale, 2015a; Burden and Faires, 2010)

Temas

1. Reglas de Newton-Cotes: trapezoidal, Simpson y reglas compuestas; análisis de error
2. Cuadratura adaptativa y control automático del error
3. Cuadratura gaussiana: nodos y pesos óptimos, conexión con polinomios ortogonales
4. Tratamiento numérico de integrales impropias y singulares
5. Integración de Monte Carlo y métodos cuasi-Monte Carlo para integrales de alta dimensión

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Derivar la fórmula de error para la regla compuesta de Simpson e identificar su orden de precisión [Familiarizarse]
2. Seleccionar y aplicar una regla de cuadratura apropiada (Gaussiana, adaptativa) según la regularidad del integrando [Usar]
3. Aplicar integración de Monte Carlo para estimar integrales de alta dimensión y cuantificar el error estadístico [Evaluar]

7.25.4.5. Métodos Numéricos para EDO y EDP (12 horas) [Habilidades ABET-1,ABET-6] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Chapra and Canale, 2015a; Burden and Faires, 2010)

Temas

1. Métodos de Runge-Kutta y paso adaptativo para problemas de EDO en ingeniería
2. Análisis de estabilidad y rigidez en integradores numéricos de EDO de ingeniería
3. Discretización por diferencias finitas de EDP de ingeniería (ecuación de calor, ecuación de Laplace)
4. Elementos finitos y métodos de disparo para problemas de valores de frontera en ingeniería

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Implementar un integrador Runge-Kutta de cuarto orden para un problema de vibración mecánica [Usar]
2. Determinar la región de estabilidad absoluta de un esquema explícito de avance temporal [Evaluar]
3. Discretizar la ecuación de calor 2D usando diferencias finitas y plantear el sistema lineal resultante [Usar]
4. Comparar los enfoques de diferencias finitas y elementos finitos para resolver una EDP de ingeniería [Evaluar]

7.25.4.6. álgebra Lineal Numérica (12 horas) [Habilidades ABET-1,ABET-6] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Burden and Faires, 2010; Trefethen and III, 1997)

Temas

1. Factorizaciones LU y QR para resolver sistemas lineales de ingeniería
2. Solvers iterativos: Jacobi, Gauss-Seidel y Gradiente Conjugado para sistemas dispersos de gran escala
3. Descomposición en Valores Singulares (SVD) para ajuste de datos y reducción de modelos
4. Formatos de almacenamiento de matrices dispersas y solvers eficientes para sistemas FEM/FVM de ingeniería

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Resolver sistemas lineales de ingeniería usando descomposición LU con pivoteo parcial [Usar]
2. Analizar la tasa de convergencia de solvers iterativos aplicados a matrices de rigidez de ingeniería [Evaluar]
3. Implementar un solver de Gradiente Conjugado para un sistema de ingeniería simétrico y definido positivo de gran escala [Usar]
4. Aplicar SVD para comprimir un conjunto de formas modales estructurales y evaluar la calidad de la aproximación [Evaluar]

7.25.4.7. Método de Elementos Finitos (8 horas) [Habilidades ABET-1,ABET-2] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Reddy, 2019a; Burden and Faires, 2010)

Temas

1. Formulación débil (variacional) de problemas de valor en la frontera y espacios de Sobolev
2. Método de Galerkin: espacios de aproximación de dimensión finita y matriz de rigidez
3. Espacios de elementos finitos triangulares y cuadriláteros: elementos de Lagrange y conformidad
4. Estimaciones de error a priori: lema de Céa y cotas de error de interpolación
5. Estimaciones de error a posteriori y refinamiento adaptativo de malla

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Derivar la formulación débil de un PVE elíptico y mostrar su equivalencia con la forma fuerte [Familiarizarse]
2. Ensamblar la matriz de rigidez global y el vector de carga para una discretización lineal por elementos finitos [Usar]
3. Estimar el error en \(H^1\) de una solución por elementos finitos usando el lema de Céa y la teoría de interpolación [Evaluar]

7.25.4.8. Algoritmos de Optimización (4 horas) [Habilidades ABET-2,ABET-6] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Nocedal and Wright, 2006)

Temas

1. Descenso por gradiente y métodos de búsqueda lineal: condiciones de Armijo-Wolfe y tasas de convergencia
2. Método de Newton y métodos cuasi-Newton (BFGS, L-BFGS)
3. Optimización con restricciones: condiciones KKT, métodos de penalización y programación cuadrática secuencial
4. Algoritmos de optimización convexa: métodos de punto interior y método de multiplicadores de dirección alterna (ADMM)
5. Descenso de gradiente estocástico (SGD), reducción de varianza y optimizador Adam

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Explicar las garantías de convergencia del descenso por gradiente para funciones convexas suaves [Familiarizarse]
2. Aplicar los métodos de Newton y cuasi-Newton a problemas de optimización sin restricciones [Usar]
3. Formular un problema de optimización con restricciones como un sistema KKT y aplicar un método de punto interior [Evaluar]

7.25.4.9. Computación Paralela y de Alto Rendimiento (4 horas) [Habilidades ABET-6] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Pacheco and Malensek, 2022)

Temas

1. Arquitecturas paralelas: memoria compartida (OpenMP), memoria distribuida (MPI) y GPU (CUDA)
2. Modelos de rendimiento: ley de Amdahl, modelo de línea techada y complejidad de comunicación
3. Algoritmos paralelos para álgebra lineal densa y dispersa (ScaLAPACK, PETSc)
4. Descomposición de dominio y solucionadores paralelos de EDPs
5. Diferenciación automática (modo directo y reverso) y su rol en ML científico

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Explicar la ley de Amdahl e identificar los cuellos de botella que limitan la aceleración paralela en un algoritmo dado [Familiarizarse]
2. Implementar una rutina paralela de álgebra lineal usando MPI o OpenMP y medir la eficiencia paralela [Usar]
3. Aplicar diferenciación automática para calcular gradientes de funciones científicas complejas con fines de optimización [Evaluar]

7.25.4.10. Teoría de Grafos (4 horas) [Habilidades ABET-1] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (West, 2001)

Temas

1. Grafos: definiciones, isomorfismo, sucesiones de grados, árboles y árboles generadores
2. Conectividad, teorema de Menger y flujos en redes (flujo máximo-corte mínimo)
3. Emparejamientos (teorema de Hall), coloraciones de grafos y el polinomio cromático
4. Grafos planares, fórmula de Euler, teorema de Kuratowski y el teorema de los cuatro colores
5. Matrices de adyacencia y laplaciana, valores propios y grafos expandidores

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Identificar propiedades estructurales de grafos (conectividad, planaridad, bipartitud) y aplicar la fórmula de Euler [Familiarizarse]
2. Aplicar el teorema de matrimonio de Hall y algoritmos de flujo en redes a problemas de emparejamiento y enrutamiento [Usar]
3. Analizar el espectro de un grafo para acotar su número cromático y sus propiedades de conectividad [Evaluar]

7.25.4.11. Análisis de Series Temporales (2 horas) [Habilidades ABET-1,ABET-6] ↑ Volver arriba

Referencias Bibliográficas: (Shumway and Stoffer, 2017)

Temas

1. Estacionariedad, función de autocovarianza y función de autocorrelación (ACF)
2. Modelos ARMA: identificación, estimación (Yule-Walker, MLE) y diagnóstico
3. Densidad espectral, el periodograma y el teorema de Wiener-Khinchin
4. Modelos de espacio de estados y el filtro de Kalman
5. Modelos ARIMA, ajuste estacional y predicción a múltiples pasos

Aprendizaje esperado (Learning Outcomes)

1. Identificar la estacionariedad y determinar el orden de un modelo ARMA a partir de gráficos ACF y PACF [Familiarizarse]
2. Ajustar modelos ARIMA a datos de series temporales, validar residuos y producir predicciones [Usar]
3. Aplicar el filtro de Kalman para estimar estados ocultos en un modelo lineal gaussiano de espacio de estados [Evaluar]

7.25.5. Referencias Bibliográficas ↑ Volver arriba

Chapra, S. C. and Canale, R. P. (2015a). Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill Education.

Burden, R. L. and Faires, J. D. (2010). Numerical Analysis. Cengage Learning.

Trefethen, L. N. and III, D. B. (1997). Numerical Linear Algebra. SIAM.

Reddy, J. N. (2019a). An Introduction to the Finite Element Method. McGraw-Hill Education, 4th edition.

Nocedal, J. and Wright, S. J. (2006). Numerical Optimization. Springer, 2nd edition.

Pacheco, P. S. and Malensek, M. (2022). An Introduction to Parallel Programming. Morgan Kaufmann, 2nd edition.

West, D. B. (2001). Introduction to Graph Theory. Prentice Hall, 2nd edition.

Shumway, R. H. and Stoffer, D. S. (2017). Time Series Analysis and Its Applications: With R Examples. Springer, 4th edition.